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Cuadrado y cubo de un binomio

En esta página proporcionamos las fórmulas para calcular el cuadrado y el cubo de una suma y de una resta. Con ejemplos, ejercicios resueltos y demostraciones.

Contenido de esta página:

  1. Introducción
  2. Cuadrado de la suma
  3. Cuadrado de la resta
  4. Cuadrado de dos sumandos negativos
  5. Cubo de la suma y de la resta
  6. Ejercicios resueltos

1. Introducción

Generalmente, nuestra intuición nos hace pensar que el cuadrado de la suma es la suma de los cuadrados, pero esto no es así. Por ejemplo, (1 + 1) 2 = 2 2 = 4, sin embargo, 12 + 12 = 2.

Se conoce como teorema del binomio de Newton a la fórmula que nos proporciona el resultado de la potencia de una suma, (a+b)k. Sólo vamos a proporcionar las fórmulas para el cuadrado (k=2) y el cubo (k=3), ya que la fórmula se complica a medida que aumenta el exponente k. También, calcularemos cuadrados de trinomios.

2. Cuadrado de la suma

Dados a y b, el cuadrado de su suma es

Cuadrado y cubo de un binomio (suma y resta). Fórmulas, demostraciones y ejercicios resueltos. Álgebra. Matemáticas.

Por ejemplo,

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Nota: el término 2ab es el producto 2·a·b.

La demostración es muy sencilla, sólo hay que desarrollar el producto del binomio por sí mismo:

Cuadrado y cubo de un binomio (suma y resta). Fórmulas, demostraciones y ejercicios resueltos. Álgebra. Matemáticas.

Nota: hemos sumado ab + ba = 2ab ya que el producto es conmutativo. Cuando no se cumpla la conmutatividad (en las matrices, por ejemplo), esta fórmula no es cierta.

3. Cuadrado de la resta

Dados a y b, el cuadrado de su resta es

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Por ejemplo,

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La demostración es similar a la anterior.

4. Cuadrado con dos sumandos negativos

Si los dos monomios a y b tienen signo negativo, el cuadrado de su suma es

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Por ejemplo,

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Para demostrar la fórmula, podemos extraer los signos negativos como factor común:

Cuadrado y cubo de un binomio (suma y resta). Fórmulas, demostraciones y ejercicios resueltos. Álgebra. Matemáticas.

Hemos utilizado la propiedad de las potencias la potencia de un producto es el producto de las potencias.


Nota: En realidad, podemos calcular los tres casos sencillamente a partir de la primera fórmula.

5. Cubo de la suma y de la resta

Dados a y b, el cubo de su suma es

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Y el cubo de su resta es

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Por ejemplo,

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Demostración de la fórmula para la suma:

Cuadrado y cubo de un binomio (suma y resta). Fórmulas, demostraciones y ejercicios resueltos. Álgebra. Matemáticas.

6. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Cuadrado y cubo de un binomio (suma y resta). Fórmulas, demostraciones y ejercicios resueltos. Álgebra. Matemáticas.

Solución

Ejercicio 2

Cuadrado y cubo de un binomio (suma y resta). Fórmulas, demostraciones y ejercicios resueltos. Álgebra. Matemáticas.

Solución

Ejercicio 3

Cuadrado y cubo de un binomio (suma y resta). Fórmulas, demostraciones y ejercicios resueltos. Álgebra. Matemáticas.

Solución

Ejercicio 4

Cuadrado y cubo de un binomio (suma y resta). Fórmulas, demostraciones y ejercicios resueltos. Álgebra. Matemáticas.

Solución

Ejercicio 5

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Solución

Ejercicio 6

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Solución

Ejercicio 7

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Solución

Ejercicio 8

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Solución

Ejercicio 9

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Solución

Ejercicio 10

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Solución

Ejercicio 11

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Solución

Ejercicio 12

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Solución

Ejercicio 13

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Solución

Ejercicio 14

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Solución

Ejercicio 15

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Solución



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