En esta página proporcionamos las fórmulas para calcular el cuadrado y el cubo de una suma y de una resta. Con ejemplos, ejercicios resueltos y demostraciones.
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Generalmente, nuestra intuición nos hace pensar que el cuadrado de la suma es la suma de los cuadrados, pero esto no es así. Por ejemplo, (1 + 1) 2 = 2 2 = 4, sin embargo, 12 + 12 = 2.
Se conoce como teorema del binomio de Newton a la fórmula que nos proporciona el resultado de la potencia de una suma, (a+b)k. Sólo vamos a proporcionar las fórmulas para el cuadrado (k=2) y el cubo (k=3), ya que la fórmula se complica a medida que aumenta el exponente k. También, calcularemos cuadrados de trinomios.
Dados a y b, el cuadrado de su suma es
Por ejemplo,
Nota: el término 2ab es el producto 2·a·b.
La demostración es muy sencilla, sólo hay que desarrollar el producto del binomio por sí mismo:
Nota: hemos sumado ab + ba = 2ab ya que el producto es conmutativo. Cuando no se cumpla la conmutatividad (en las matrices, por ejemplo), esta fórmula no es cierta.
Dados a y b, el cuadrado de su resta es
Por ejemplo,
La demostración es similar a la anterior.
Si los dos monomios a y b tienen signo negativo, el cuadrado de su suma es
Por ejemplo,
Para demostrar la fórmula, podemos extraer los signos negativos como factor común:
Hemos utilizado la propiedad de las potencias la potencia de un producto es el producto de las potencias.
Nota: En realidad, podemos calcular los tres casos sencillamente a partir de la primera fórmula.
Dados a y b, el cubo de su suma es
Y el cubo de su resta es
Por ejemplo,
Demostración de la fórmula para la suma:
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