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Sin ser demasiado rigurosos, podemos definir una sucesión (o progresión) numérica como un conjunto de números ordenados. A cada uno de estos números los llamamos términos de la sucesión: \(a_1\) es el primer término, \(a_2\) es el segundo término, \(a_3\) es el tercer término... \(a_n\) es el \(n\)-ésimo término.
Veamos las características que las definen:
En el caso de las sucesiones aritméticas y geométricas podemos encontrar una fórmula, a la que llamamos fórmula general de la progresión, que nos indica el valor de cualquier término de la sucesión sin necesidad de escribir los términos anteriores. Igualmente, podemos calcular la suma de n términos consecutivos y, en ocasiones, la suma de infinitos términos.
En esta sección resolvemos problemas de progresiones aritméticas y geométricas. Los problemas están ordenados según su dificultad. Antes de empezar, haremos un recordatorio de todas las fórmulas que necesitaremos.
SUCESIÓN ARITMÉTICA | |
---|---|
Es de la forma |
|
Diferencia |
Término general |
Suma de los n primeros términos |
|
SUCESIÓN GEOMÉTRICA | |
Es de la forma |
|
Razón |
Término general |
Suma de los n primeros términos |
Suma de todos los términos |
|
Además...
Una sucesión aritmética es
Una sucesión geométrica cuyo primer término es positivo es
Y si el primer término es negativo, es
Además, independientemente del primer término, es constante si \( r = 1\) y es alternada si \( r\) es negativo (cambia el signo en cada término).
En una progresión aritmética, sabemos que el sexto término es 28 y que la diferencia es 5. Calcular el término general y los 5 primeros términos.
Conocemos el término 6-ésimo y la diferencia:
Queremos calcular el término general de la sucesión, \(a_n\), que sabemos que es de la forma
$$ a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$$
Como la diferencia es \(d = 5\), tenemos
Necesitamos calcular el primer término de la sucesión, \(a_1\). Para ello, aplicamos la fórmula para el caso \( n = 6\) ya que sabemos que \( a_6 = 28\). Sustituimos en la fórmula:
Por tanto, el término general de la sucesión aritmética es
Los cinco primeros términos son
Nota: hemos calculado los términos aplicando la fórmula obtenida, pero una vez sabemos que el primer término es 3 y que la diferencia es 5, podemos obtener fácilmente los términos sumando la diferencia.
En una progresión geométrica, sabemos que el primer término es 6 y el cuarto es 48. Calcular el término general y la suma de los 5 primeros términos.
Conocemos el primer y el cuarto término:
Como la progresión es geométrica, su fórmula general es de la forma
De dicha fórmula conocemos el término \(a_1\), pero no conocemos la razón, \(r\). Para calcularla, aplicamos la fórmula para el caso \(n=4\) porque sabemos que \( a_4 = 48\):
Por tanto, la razón es \(r = 2\) y el término general es
Para calcular la suma de los 5 primeros términos, aplicamos la fórmula. Necesitaremos calcular el término \(a_5\):
Encontrar el término general de la sucesión
20, 19.3, 18.6, 17.9, …
¿Es aritmética o geométrica? Encontrar los términos: décimo (10), vigésimo (20) y trigésimo (30).
Si la sucesión es aritmética, entonces la diferencia entre dos términos consecutivos siempre es la misma.
Buscamos la diferencia:
Se trata de una sucesión aritmética con diferencia d = -0.7 (es una sucesión decreciente, d < 0). Por tanto, el término general es
Aplicando dicha fórmula podemos calcular los terminos décimo, vigésimo y trigésimo:
Encontrar el término general de la sucesión
0.5, 0.25, 0.125, 0.0625,...
¿Es aritmética o geométrica? Calcular los términos n- ésimos para los valores de n = 10, 100.
Se sabe que la suma de los infinitos términos de esta sucesión es 1 (ejercicio 26). Razonar cómo es posible que la suma de infinitos términos positivos no sea infinita.
Buscamos la diferencia:
Como los valores no coinciden, la sucesión no es aritmética.
Buscamos la razón:
Se trata de una sucesión geométrica de razón r = 0.5 (decreciente puesto que r < 1).
Como conocemos el primer término y la razón, el término general es
Así, podemos calcular los términos 10-ésimo y 100-ésimo:
Observamos que los términos de la sucesión son muy pequeños: el décimo tiene tres ceros detrás de la coma y el centésimo, tiene treinta.
Aunque los términos de la sucesión son positivos, éstos son cada vez más pequeños y muy próximos a 0. De este modo, al sumarlos, a penas incrementa el valor, aunque sumemos infinitos números.
En una progresión aritmética, sabemos que el primer término es 1 y la suma de los 10 primeros términos es 63. Calcular el término general.
Conocemos el primer término y la suma de los diez primeros términos:
Utilizaremos las fórmulas del término general y de la suma (de una progresión aritmética) para poder calcular la diferencia, \(d\). Dichas fórmulas son:
Hemos escrito en las fórmulas \(a_1 = 1\).
Sustituimos los datos conocidos:
Podemos sustituir \( a_{10}\) en la primera fórmula:
De la ecuación resultante obtenemos d:
Luego la diferencia es \(d = 53/45\) y el término general es
En una progresión aritmética finita, el segundo término es -23 y el último 32. Si se sabe que hay 12 términos, calcular el término general.
Conocemos el segundo término y el duodécimo:
Por ser aritmética, sabemos que la fórmula general de la misma es de la forma
Con los datos que conocemos, podemos construir un sistema de ecuaciones para calcular el primer término y la diferencia:
Resolvemos el sistema por el método de igualación:
Por tanto, el término general es
Nota: hemos indicado los valores que puede tomar n ya que la sucesión es finita.
La suma de tres términos consecutivos de una sucesión aritmética cuya diferencia es 11 vale 66. Encontrar dichos términos.
Como la diferencia de la sucesión es 11, la diferencia entre términos consecutivos es 11. Entonces, si uno de los términos es \(x\), su consecutivo es \(x+11\) y el consecutivo de éste es \(x+11+11\).
Sabemos que los 3 términos consecutivos han de sumar 66, así que tenemos
Es decir, tenemos una ecuación de primer grado cuya solución es 11:
Luego los números son 11, 22, 33.
La ecuación la podemos expresar en términos de una progresión como
es decir, como la suma de los tres primeros términos de una progresión cuyo término general es
La suma de n números naturales consecutivos a partir de 55 (sin incluirlo) vale 738. Encontrar n.
El enunciado nos dice que
Así, \(n\) es el número de sumandos a la izquierda de la igualdad.
Podemos expresar la ecuación anterior como
Es decir,
En realidad, el interior del paréntesis es la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética con diferencia 1 y cuyo primer término es 1, esto es
Por tanto, podemos reescribir la ecuación como
Tenemos entonces una ecuación segundo grado cuyas soluciones son n = -123, 12. Como n representa la cantidad de sumandos, ha de ser un número natural (entero positivo), de modo que n = 12.
La suma de 6 números impares consecutivos vale 120. Encontrar dichos números.
Un número impar es de la forma
Si el más pequeño de los 6 números impares es \(2k+1\), sus consecutivos se obtienen sumando \(2\). Por tanto, buscamos la \(k\) que cumple
Simplificando,
El interior del paréntesis es la suma de los 6 primeros términos de una sucesión aritmética de diferencia 2 y que empieza en 1, es decir,
Por tanto,
Los números son 15, 17, 19, 21, 23, 25.
Demostrar que en cualquier sucesión geométrica positiva, cada término es la raíz cuadrada del producto de su término anterior por su término siguiente. Es decir,
$$ a_n = \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$$
El término general de una sucesión geométrica es
y queremos demostrar que
Para demostrarlo, calculamos \(a_{n-1}\) y \(a_{n+1}\) usando el término general:
$$a_{n-1} = a_1 r^{n-1-1} = a_1 r^{n-2} $$
$$a_{n+1} = a_1 r^{n+1-1} = a_1 r^{n} $$
y sustituimos en el radicando. Quedará demostrado al obtener que dicha raíz es justamente el término \(a_n\):
Observaciones:
Una progresión geométrica comienza en 1 y tiene razón 2. Encontrar los tres términos consecutivos (de la sucesión) cuyo producto es 512.
El término general de la progresión es
No sabemos la posición que ocupan los tres términos, pero sí sabemos que son consecutivos. Por tanto, si el primero de ellos es \(a_n\), los otros dos son \(a_{n+1}\) y \(a_{n+2}\). Entonces, utilizando el término general, el producto de dichos términos es
Por tanto, los términos son el tercero, el cuarto y el quinto: 4, 8, 16.
Encontrar el término general de la sucesión
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
¿Es aritmética o geométrica?
Comprobamos si es aritmética restando términos consecutivos:
No lo es puesto que las diferencias no coinciden.
Comprobamos si es geométrica dividiendo términos consecutivos:
No lo es puesto que la razón no es la misma.
Luego la progresión no es ni aritmética ni geométrica. Tendremos que deducir por nuestra cuenta cuál es el término general.
Lo primero que hacemos es fijarnos en la relación entre la posición de cada término y su valor:
Por tanto, deducimos que el término general es
No es una progresión aritmética ni geométrica.
En esta sucesión no podemos utilizar la fórmula que conocemos para sumar \(n\) términos.
Encontrar el término general de la sucesión
1, 4, 27, 256, 3125, ...
¿Es aritmética o geométrica?
Comprobamos si es aritmética:
No lo es. Comprobamos si es geométrica:
No lo es. Nos fijamos en la relación entre la posición de cada término y su valor:
Por tanto, deducimos que el término general es
No es una progresión aritmética ni geométrica.
Encontrar el término general de la sucesión
1, -2, 4, -8, 16,...
¿Es aritmética o geométrica?
Comprobamos si es aritmética:
No lo es. Comprobamos si es geométrica:
Por tanto, es geométrica con razón r = -2 y, por tanto, su término general es
Como la razón es negativa, la sucesión es alternada. Esto implica que cada término tiene un signo distinto. En esta sucesión en particular, los términos de posición par son negativos y los otros son positivos.
Calcular la suma de los tres primeros términos de una sucesión geométrica de razón 0.5 sabiendo que su producto es 1000.
Como la sucesión es geométrica y conocemos la razón, el término general es
$$ a_n = a_1\cdot 0.5^{n-1} $$
Sabemos que el producto de los tres primeros términos es 1000. Dicho matemáticamente,
$$ a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 1000 $$
Sustituimos \(a_1\), \(a_2\) y \(a_3\) de la expresión anterior por el término general con \(n=1\), \(n=2\) y \(n=3\), respectivamente:
$$ 1000 = a_1\cdot (a_1 \cdot 0.5)\cdot (a_1\cdot 0.5^2) $$
Con lo que obtenemos la ecuación
$$ 1000 = a_1 ^3 \cdot 0.5^3$$
Esta ecuación nos proporciona el primer término:
Por tanto, la sucesión es 20, 10, 5,... y la suma de los tres primeros términos es 35.
Considérese la sucesión dada por recurrencia
Calcular los términos que sean necesarios para poder deducir su término general.
Aplicaremos la fórmula dada para calcular, uno a uno, los primeros términos de la sucesión:
Luego la sucesión es 1, 3, 5, 7, 9, 11,... que es la sucesión de los números impares.
Por tanto, su término general es
Se trata de una sucesión aritmética de diferencia d = 2.
Nota: al expresar la sucesión por recurrencia, para calcular el término \(n+1\)-ésimo se necesita calcular previamente todos términos que le preceden: para calcular \(a_{n+1}\) hacen falta \(a_{n}\) y \(a_{n-1}\), pero para calcular \(a_{n}\) hacen halta \(a_{n-1}\) y \(a_{n-2}\) y, asi, sucesivamente hasta \(a_1\). No ocurre lo mismo con el término general. Ahora bien, para algunas sucesiones no se puede encontrar una fórmula del término general.
El sueldo de un trabajador es de 950€ mensuales y cada año se incrementa en 50€ (cada mes). Calcular cuánto dinero ganará en los 10 años siguientes.
Construimos una sucesión cuyo término n-ésimo es el sueldo mensual en el año n-ésimo:
En el primer año, el sueldo mensual es de 950. En el segundo año, el sueldo mensual es de 1000. En el tercero, 1050. Luego la sucesión es
Se trata de una progresión aritmética con diferencia d = 50.
En total, en el año n-ésimo el sueldo es 12·an porque hay 12 meses en un año y cada término representa el sueldo mensual. Por tanto, debemos multiplicar por 12 la suma de los 10 primeros términos:
En 10 años, la cifra asciende a 12·11750 = 141000€.
Calcular la suma de todos los números impares comprendidos entre 100 y 200.
Construimos la progresión formada por dichos números:
Hemos usado k porque no sabemos qué posición ocupa el último término. Es una progresión aritmética con diferencia d = 2 y con término general
Buscamos la posición del último término:
Resolvemos la ecuación y obtenemos k = 50.
Por tanto, la suma será
Demostrar que la suma de los n primeros impares es n2.
Consideremos la sucesión de los números impares
Es una sucesión aritmética con diferencia d = 2. Queremos calcular la suma de los n primeros términos, es decir,
En una progresión aritmética, la suma de los dos primeros términos es 12 y la suma del primero con el tercero es 30. Hallar el término general y calcular la suma de los cinco primeros términos.
Como la progresión es aritmética, el término general es
Tenemos los datos:
Resolvemos el sistema de ecuaciones obteniendo el primer término y la diferencia:
Luego el término general es
Y la suma de los cinco primeros es
Calcular el valor del parámetro a para que los números a+2, 3a+2, 9a-2 sean los tres primeros términos de una progresión geométrica.
En un cuadrado de lado 2 se unen los puntos medios de sus lados para obtener otro cuadrado inscrito. Se repite el proceso sucesivamente con los cuadrados obtenidos:
Calcular la sucesión cuyo término n-ésimo corresponde con la longitud del lado del cuadrado n-ésimo. ¿Qué tipo de sucesión es?
Calcular un número sabiendo que sus cinco cifras están colocadas en progresión aritmética, que la suma de todas ellas es 20 y que la primera es el doble de la tercera.
Calcular la suma de los múltiplos de 13 comprendidos entre los números 500 y 7800 inclusive.
Los dos primeros términos de una progresión aritmética son a1 = (a - b)2 y a2 = (a + b)2. Calcular la diferencia de la progresión y la suma de los 5 primeros términos.
Demostrar que la suma infinita de la sucesión
es 1 con la ayuda del siguiente diagrama que representa un cuadrado de lado 1.
Demostrar que la suma infinita de la progresión geométrica
es 1 con la ayuda del siguiente diagrama de cuadrados de lado 1 en los que el área amarilla del n-ésimo cuadrado vale lo mismo que el término n-ésimo de la progresión.
Según una leyenda, un rico brahmán ordenó a su sirviente, Sisa, que creara un juego para que pudiera entretenerse. Sisa le presentó el tablero de ajedrez y el brahmán quedó tan satisfecho que le dejó escoger su recompensa. Así pues, le pidió que le pagara con un grano de trigo por el primer casillero del tablero, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto, etc. hasta llegar a los 64 casilleros.
A las 9 de la mañana, una persona cuenta a tres amigos un secreto. Media hora después, cada uno de estos tres amigos cuenta el secreto a otras tres personas. Media hora más tarde, cada uno de éstos cuenta el secreto a otras tres personas y así sucesivamente.
Calcular cuántas personas saben el secreto a las 9 de la noche suponiendo que cada persona sólo cuenta el secreto a otras tres personas y a nadie más durante el día y que ninguno ha recibido la información varias veces.
Encontrar el valor de n para que se cumpla la igualdad