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Progresiones o sucesiones

Contenido de esta página:

  • Breve introducción
  • Recordatorio de las fórmulas de las progresiones aritméticas y geométricas
  • 30 problemas resueltos de progresiones (aritméticas y geométricas)

Enlaces de interés:

Introducción

Sin ser demasiado rigurosos, podemos definir una sucesión (o progresión) numérica como un conjunto de números ordenados. A cada uno de estos números los llamamos términos de la sucesión: \(a_1\) es el primer término, \(a_2\) es el segundo término, \(a_3\) es el tercer término... \(a_n\) es el \(n\)-ésimo término.

Veamos las características que las definen:

  • En función del número que tengan, las sucesiones pueden ser finitas o infinitas.
  • Crecientes si cada término es mayor que su anterior, es decir, $$ a_n \leq a_{n+1} $$ O decrecientes si $$ a_n \geq a_{n+1} $$
  • Son aritméticas cuando cada término es la suma del término anterior más un número constante, al que llamamos diferencia y denotamos por d. Es decir, $$ a_{n+1} = a_{n} + d $$
  • Son geométricas cuando cada término es el término anterior multiplicado por un número constante, al que llamamos razón y denotamos por r . Es decir, $$ a_{n+1} = a_n \cdot r $$

En el caso de las sucesiones aritméticas y geométricas podemos encontrar una fórmula, a la que llamamos fórmula general de la progresión, que nos indica el valor de cualquier término de la sucesión sin necesidad de escribir los términos anteriores. Igualmente, podemos calcular la suma de n términos consecutivos y, en ocasiones, la suma de infinitos términos.

En esta sección resolvemos problemas de progresiones aritméticas y geométricas. Los problemas están ordenados según su dificultad. Antes de empezar, haremos un recordatorio de todas las fórmulas que necesitaremos.

Fórmulas


SUCESIÓN ARITMÉTICA

Es de la forma

Fórmulas y problemas resueltos de sucesiones aritméticas y geométricas ordenados de menor a mayor dificultad. Calcular término general, sumas parciales e infinitas, etc. Secundaria y bachiller.

Diferencia

Término general

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Suma de los n primeros términos

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SUCESIÓN GEOMÉTRICA

Es de la forma

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Razón

Término general

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Suma de los n primeros términos

Suma de todos los términos

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Test en línea sobre progresiones o sucesiones. Conceptos básicos: término general, sucesión aritmética y geométrica, diferencia, razón, suma, creciente, decreciente, alternada... Con razonamiento en todas las preguntas. Recursos TIC de matemáticas para secundaria (ESO) y Bachillerato.

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Además...

Una sucesión aritmética es

  • decreciente si d < 0,
  • creciente si d > 0 y
  • constante si d = 0.

Una sucesión geométrica cuyo primer término es positivo es

  • decreciente si \( 0 < r < 1\) y
  • es creciente si \( r > 1\).

Y si el primer término es negativo, es

  • creciente si \( 0 < r < 1\) y
  • decreciente si \( r > 1\).

Además, independientemente del primer término, es constante si \( r = 1\) y es alternada si \( r\) es negativo (cambia el signo en cada término).

30 problemas resueltos

Problema 1 dificultad

En una progresión aritmética, sabemos que el sexto término es 28 y que la diferencia es 5. Calcular el término general y los 5 primeros términos.

SOLUCIÓN

Conocemos el término 6-ésimo y la diferencia:

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Queremos calcular el término general de la sucesión, \(a_n\), que sabemos que es de la forma

$$ a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$$

Como la diferencia es \(d = 5\), tenemos

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Necesitamos calcular el primer término de la sucesión, \(a_1\). Para ello, aplicamos la fórmula para el caso \( n = 6\) ya que sabemos que \( a_6 = 28\). Sustituimos en la fórmula:

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Por tanto, el término general de la sucesión aritmética es

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Los cinco primeros términos son

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Nota: hemos calculado los términos aplicando la fórmula obtenida, pero una vez sabemos que el primer término es 3 y que la diferencia es 5, podemos obtener fácilmente los términos sumando la diferencia.


Problema 2 dificultad

En una progresión geométrica, sabemos que el primer término es 6 y el cuarto es 48. Calcular el término general y la suma de los 5 primeros términos.

SOLUCIÓN

Conocemos el primer y el cuarto término:

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Como la progresión es geométrica, su fórmula general es de la forma

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De dicha fórmula conocemos el término \(a_1\), pero no conocemos la razón, \(r\). Para calcularla, aplicamos la fórmula para el caso \(n=4\) porque sabemos que \( a_4 = 48\):

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Por tanto, la razón es \(r = 2\) y el término general es

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Para calcular la suma de los 5 primeros términos, aplicamos la fórmula. Necesitaremos calcular el término \(a_5\):

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Problema 3 dificultad

Encontrar el término general de la sucesión

20, 19.3, 18.6, 17.9, …

¿Es aritmética o geométrica? Encontrar los términos: décimo (10), vigésimo (20) y trigésimo (30).

SOLUCIÓN

Si la sucesión es aritmética, entonces la diferencia entre dos términos consecutivos siempre es la misma.

Buscamos la diferencia:

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Se trata de una sucesión aritmética con diferencia d = -0.7 (es una sucesión decreciente, d < 0). Por tanto, el término general es

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Aplicando dicha fórmula podemos calcular los terminos décimo, vigésimo y trigésimo:

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Problema 4 dificultad

Encontrar el término general de la sucesión

0.5, 0.25, 0.125, 0.0625,...

¿Es aritmética o geométrica? Calcular los términos n- ésimos para los valores de n = 10, 100.

Se sabe que la suma de los infinitos términos de esta sucesión es 1 (ejercicio 26). Razonar cómo es posible que la suma de infinitos términos positivos no sea infinita.

SOLUCIÓN

Buscamos la diferencia:

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Como los valores no coinciden, la sucesión no es aritmética.

Buscamos la razón:

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Se trata de una sucesión geométrica de razón r = 0.5 (decreciente puesto que r < 1).

Como conocemos el primer término y la razón, el término general es

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Así, podemos calcular los términos 10-ésimo y 100-ésimo:

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Observamos que los términos de la sucesión son muy pequeños: el décimo tiene tres ceros detrás de la coma y el centésimo, tiene treinta.

Aunque los términos de la sucesión son positivos, éstos son cada vez más pequeños y muy próximos a 0. De este modo, al sumarlos, a penas incrementa el valor, aunque sumemos infinitos números.


Problema 5 dificultad

En una progresión aritmética, sabemos que el primer término es 1 y la suma de los 10 primeros términos es 63. Calcular el término general.

SOLUCIÓN

Conocemos el primer término y la suma de los diez primeros términos:

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Utilizaremos las fórmulas del término general y de la suma (de una progresión aritmética) para poder calcular la diferencia, \(d\). Dichas fórmulas son:

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Hemos escrito en las fórmulas \(a_1 = 1\).

Sustituimos los datos conocidos:

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Podemos sustituir \( a_{10}\) en la primera fórmula:

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De la ecuación resultante obtenemos d:

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Luego la diferencia es \(d = 53/45\) y el término general es

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Problema 6 dificultad

En una progresión aritmética finita, el segundo término es -23 y el último 32. Si se sabe que hay 12 términos, calcular el término general.

SOLUCIÓN

Conocemos el segundo término y el duodécimo:

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Por ser aritmética, sabemos que la fórmula general de la misma es de la forma

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Con los datos que conocemos, podemos construir un sistema de ecuaciones para calcular el primer término y la diferencia:

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Resolvemos el sistema por el método de igualación:

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Por tanto, el término general es

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Nota: hemos indicado los valores que puede tomar n ya que la sucesión es finita.

Problema 7 dificultad

La suma de tres términos consecutivos de una sucesión aritmética cuya diferencia es 11 vale 66. Encontrar dichos términos.

SOLUCIÓN

Como la diferencia de la sucesión es 11, la diferencia entre términos consecutivos es 11. Entonces, si uno de los términos es \(x\), su consecutivo es \(x+11\) y el consecutivo de éste es \(x+11+11\).

Sabemos que los 3 términos consecutivos han de sumar 66, así que tenemos

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Es decir, tenemos una ecuación de primer grado cuya solución es 11:

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Luego los números son 11, 22, 33.

La ecuación la podemos expresar en términos de una progresión como

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es decir, como la suma de los tres primeros términos de una progresión cuyo término general es

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Problema 8 dificultad

La suma de n números naturales consecutivos a partir de 55 (sin incluirlo) vale 738. Encontrar n.

SOLUCIÓN

El enunciado nos dice que

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Así, \(n\) es el número de sumandos a la izquierda de la igualdad.

Podemos expresar la ecuación anterior como

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Es decir,

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En realidad, el interior del paréntesis es la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética con diferencia 1 y cuyo primer término es 1, esto es

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Por tanto, podemos reescribir la ecuación como

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Tenemos entonces una ecuación segundo grado cuyas soluciones son n = -123, 12. Como n representa la cantidad de sumandos, ha de ser un número natural (entero positivo), de modo que n = 12.

Problema 9 dificultad

La suma de 6 números impares consecutivos vale 120. Encontrar dichos números.

SOLUCIÓN

Un número impar es de la forma

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Si el más pequeño de los 6 números impares es \(2k+1\), sus consecutivos se obtienen sumando \(2\). Por tanto, buscamos la \(k\) que cumple

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Simplificando,

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El interior del paréntesis es la suma de los 6 primeros términos de una sucesión aritmética de diferencia 2 y que empieza en 1, es decir,

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Por tanto,

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Los números son 15, 17, 19, 21, 23, 25.


Problema 10 dificultad

Demostrar que en cualquier sucesión geométrica positiva, cada término es la raíz cuadrada del producto de su término anterior por su término siguiente. Es decir,

$$ a_n = \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$$

SOLUCIÓN

El término general de una sucesión geométrica es

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y queremos demostrar que

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Para demostrarlo, calculamos \(a_{n-1}\) y \(a_{n+1}\) usando el término general:

$$a_{n-1} = a_1 r^{n-1-1} = a_1 r^{n-2} $$

$$a_{n+1} = a_1 r^{n+1-1} = a_1 r^{n} $$

y sustituimos en el radicando. Quedará demostrado al obtener que dicha raíz es justamente el término \(a_n\):

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Observaciones:

  1. Hemos aplicando las propiedades de las potencias para simplificar.
  2. La exigencia de que la sucesión sea positiva es porque, de este modo, la raíz cuadrada de \(a_1^2\) es \(a_1\) y no su valor absoluto.
  3. Como la sucesión es positiva, su razón también lo es. Por ello, tampoco escribimos el valor absoluto al simplificar la raíz de \( r^{2(n-1)}\).

Problema 11 dificultad

Una progresión geométrica comienza en 1 y tiene razón 2. Encontrar los tres términos consecutivos (de la sucesión) cuyo producto es 512.

SOLUCIÓN

El término general de la progresión es

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No sabemos la posición que ocupan los tres términos, pero sí sabemos que son consecutivos. Por tanto, si el primero de ellos es \(a_n\), los otros dos son \(a_{n+1}\) y \(a_{n+2}\). Entonces, utilizando el término general, el producto de dichos términos es

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Por tanto, los términos son el tercero, el cuarto y el quinto: 4, 8, 16.


Problema 12 dificultad

Encontrar el término general de la sucesión

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

¿Es aritmética o geométrica?

SOLUCIÓN

Comprobamos si es aritmética restando términos consecutivos:

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No lo es puesto que las diferencias no coinciden.

Comprobamos si es geométrica dividiendo términos consecutivos:

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No lo es puesto que la razón no es la misma.

Luego la progresión no es ni aritmética ni geométrica. Tendremos que deducir por nuestra cuenta cuál es el término general.

Lo primero que hacemos es fijarnos en la relación entre la posición de cada término y su valor:

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Por tanto, deducimos que el término general es

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No es una progresión aritmética ni geométrica.

En esta sucesión no podemos utilizar la fórmula que conocemos para sumar \(n\) términos.

Problema 13 dificultad

Encontrar el término general de la sucesión

1, 4, 27, 256, 3125, ...

¿Es aritmética o geométrica?

SOLUCIÓN

Comprobamos si es aritmética:

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No lo es. Comprobamos si es geométrica:

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No lo es. Nos fijamos en la relación entre la posición de cada término y su valor:

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Por tanto, deducimos que el término general es

Fórmulas y problemas resueltos de sucesiones aritméticas y geométricas ordenados de menor a mayor dificultad. Calcular término general, sumas parciales e infinitas, etc. Secundaria y bachiller.

No es una progresión aritmética ni geométrica.


Problema 14 dificultad

Encontrar el término general de la sucesión

1, -2, 4, -8, 16,...

¿Es aritmética o geométrica?

SOLUCIÓN

Comprobamos si es aritmética:

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No lo es. Comprobamos si es geométrica:

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Por tanto, es geométrica con razón r = -2 y, por tanto, su término general es

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Como la razón es negativa, la sucesión es alternada. Esto implica que cada término tiene un signo distinto. En esta sucesión en particular, los términos de posición par son negativos y los otros son positivos.

Problema 15 dificultad

Calcular la suma de los tres primeros términos de una sucesión geométrica de razón 0.5 sabiendo que su producto es 1000.

SOLUCIÓN

Como la sucesión es geométrica y conocemos la razón, el término general es

$$ a_n = a_1\cdot 0.5^{n-1} $$

Sabemos que el producto de los tres primeros términos es 1000. Dicho matemáticamente,

$$ a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 1000 $$

Sustituimos \(a_1\), \(a_2\) y \(a_3\) de la expresión anterior por el término general con \(n=1\), \(n=2\) y \(n=3\), respectivamente:

$$ 1000 = a_1\cdot (a_1 \cdot 0.5)\cdot (a_1\cdot 0.5^2) $$

Con lo que obtenemos la ecuación

$$ 1000 = a_1 ^3 \cdot 0.5^3$$

Esta ecuación nos proporciona el primer término:

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Por tanto, la sucesión es 20, 10, 5,... y la suma de los tres primeros términos es 35.


Problema 16 dificultad

Considérese la sucesión dada por recurrencia

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Calcular los términos que sean necesarios para poder deducir su término general.

SOLUCIÓN

Aplicaremos la fórmula dada para calcular, uno a uno, los primeros términos de la sucesión:

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Luego la sucesión es 1, 3, 5, 7, 9, 11,... que es la sucesión de los números impares.

Por tanto, su término general es

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Se trata de una sucesión aritmética de diferencia d = 2.

Nota: al expresar la sucesión por recurrencia, para calcular el término \(n+1\)-ésimo se necesita calcular previamente todos términos que le preceden: para calcular \(a_{n+1}\) hacen falta \(a_{n}\) y \(a_{n-1}\), pero para calcular \(a_{n}\) hacen halta \(a_{n-1}\) y \(a_{n-2}\) y, asi, sucesivamente hasta \(a_1\). No ocurre lo mismo con el término general. Ahora bien, para algunas sucesiones no se puede encontrar una fórmula del término general.

Problema 17 dificultad

El sueldo de un trabajador es de 950€ mensuales y cada año se incrementa en 50€ (cada mes). Calcular cuánto dinero ganará en los 10 años siguientes.

SOLUCIÓN

Construimos una sucesión cuyo término n-ésimo es el sueldo mensual en el año n-ésimo:

En el primer año, el sueldo mensual es de 950. En el segundo año, el sueldo mensual es de 1000. En el tercero, 1050. Luego la sucesión es

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Se trata de una progresión aritmética con diferencia d = 50.

En total, en el año n-ésimo el sueldo es 12·an porque hay 12 meses en un año y cada término representa el sueldo mensual. Por tanto, debemos multiplicar por 12 la suma de los 10 primeros términos:

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En 10 años, la cifra asciende a 12·11750 = 141000€.


Problema 18 dificultad

Calcular la suma de todos los números impares comprendidos entre 100 y 200.

SOLUCIÓN

Construimos la progresión formada por dichos números:

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Hemos usado k porque no sabemos qué posición ocupa el último término. Es una progresión aritmética con diferencia d = 2 y con término general

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Buscamos la posición del último término:

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Resolvemos la ecuación y obtenemos k = 50.

Por tanto, la suma será

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Problema 19 dificultad

Demostrar que la suma de los n primeros impares es n2.

SOLUCIÓN

Consideremos la sucesión de los números impares

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Es una sucesión aritmética con diferencia d = 2. Queremos calcular la suma de los n primeros términos, es decir,

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Problema 20 dificultad

En una progresión aritmética, la suma de los dos primeros términos es 12 y la suma del primero con el tercero es 30. Hallar el término general y calcular la suma de los cinco primeros términos.

SOLUCIÓN

Como la progresión es aritmética, el término general es

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Tenemos los datos:

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Resolvemos el sistema de ecuaciones obteniendo el primer término y la diferencia:

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Luego el término general es

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Y la suma de los cinco primeros es

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Problema 21 dificultad

Calcular el valor del parámetro a para que los números a+2, 3a+2, 9a-2 sean los tres primeros términos de una progresión geométrica.

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Problema 22 dificultad

En un cuadrado de lado 2 se unen los puntos medios de sus lados para obtener otro cuadrado inscrito. Se repite el proceso sucesivamente con los cuadrados obtenidos:

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Calcular la sucesión cuyo término n-ésimo corresponde con la longitud del lado del cuadrado n-ésimo. ¿Qué tipo de sucesión es?

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Problema 23 dificultad

Calcular un número sabiendo que sus cinco cifras están colocadas en progresión aritmética, que la suma de todas ellas es 20 y que la primera es el doble de la tercera.

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Problema 24 dificultad

Calcular la suma de los múltiplos de 13 comprendidos entre los números 500 y 7800 inclusive.

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Problema 25 dificultad

Los dos primeros términos de una progresión aritmética son a1 = (a - b)2 y a2 = (a + b)2. Calcular la diferencia de la progresión y la suma de los 5 primeros términos.

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Problema 26 dificultad

Demostrar que la suma infinita de la sucesión

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es 1 con la ayuda del siguiente diagrama que representa un cuadrado de lado 1.

representación para el problema 26

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Problema 27 dificultad

Demostrar que la suma infinita de la progresión geométrica

representación para el problema 27

es 1 con la ayuda del siguiente diagrama de cuadrados de lado 1 en los que el área amarilla del n-ésimo cuadrado vale lo mismo que el término n-ésimo de la progresión.

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Problema 28 dificultad

Según una leyenda, un rico brahmán ordenó a su sirviente, Sisa, que creara un juego para que pudiera entretenerse. Sisa le presentó el tablero de ajedrez y el brahmán quedó tan satisfecho que le dejó escoger su recompensa. Así pues, le pidió que le pagara con un grano de trigo por el primer casillero del tablero, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto, etc. hasta llegar a los 64 casilleros.

  • Calcular a cuántos granos de trigo ascendía la recompensa.
  • Si en un 1kg hay aproximadamente 20.000 granos, ¿cuántos kilogramos de trigo obtuvo Sisa?
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Problema 29 dificultad

A las 9 de la mañana, una persona cuenta a tres amigos un secreto. Media hora después, cada uno de estos tres amigos cuenta el secreto a otras tres personas. Media hora más tarde, cada uno de éstos cuenta el secreto a otras tres personas y así sucesivamente.

Calcular cuántas personas saben el secreto a las 9 de la noche suponiendo que cada persona sólo cuenta el secreto a otras tres personas y a nadie más durante el día y que ninguno ha recibido la información varias veces.

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Problema 30 dificultad

Encontrar el valor de n para que se cumpla la igualdad

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