CONTINUIDAD Y MONOTONÍA DE FUNCIONES: TEORÍA

La interpretación intuitiva o gráfica de la continuidad es la siguiente: supongamos una función f. Si es continua, entonces podemos dibujar su gráfica de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel.

Por ejemplo, consideremos la siguiente función

cuya gráfica es la parábola

La gráfica la dibujamos desde menos infinito a infinito de un solo trazo.

En realidad, esta forma de ver la continuidad puede resultar ambigua, en tanto que la función puede ser continua en su dominio pero no en todos los reales.

Consideremos la siguiente función

cuya gráfica es la hipérbola

En este caso necesitamos realizar dos trazos. ¿Entonces la función es continua?

La respuesta es NO y SÍ. Veamos: sabemos que el dominio de la función es todos los reales excepto x = 0, donde hay que levantar el lápiz. Por tanto, la función es discontinua en los reales (ya que no es continua en este punto). Por otro lado, podemos decir que la función es continua en todo su dominio (ya que éste no contine a 0).

Luego para hablar de continuidad es menester concretar el conjunto que se considera.

Normalmente la continuidad se estudia en todos los reales, es decir, la respuesta correcta a la pregunta anterior sería que la función no es continua o que es discontinua en 0.

Podemos de antemano que una función es discontinua en los puntos que no pertenecen a su dominio.

Veamos otro ejemplo:

Es una función a trozos y tenemos una discontinuidad en x = 0. Pero notemos, que a diferencia del ejemplo anterior, este punto sí forma parte de su dominio. Hablaremos de estos casos más adelante (límites laterales).

Sea una función f de los reales en los reales, es decir,

decimos que es continua en un punto a de su dominio si se cumple alguna de los dos condciones siguientes:

Decimos que una función es continua si lo es en todos los puntos de su dominio y que una función es discontinua en un punto de su dominio si no es continua en dicho punto. Veamos un ejemplo de una función a trozos:

El dominio de la función es todos los reales. Pero la función no es continua en x = 2 ya que el valor de la función en dicho punto no coincide con el límite de la función en dicho punto.

Veamos algunos ejemplos de funciones continuas:

Funciones polinómicas

Las funciones polinómicas son siempre continuas. Son las de la forma

donde a_i son reales y n es el grado del polinomio. Es decir, son de la forma,

Su dominio es todos los reales y son continuas ya que para cualquier c se cumple

Funciones racionales

Son las de la forma

donde N y D son dos polinomios: el del numerador y el del denominador.

Podemos suponer que la función está expresada en su forma más simplificada: los polinomios N y D no tienen raíces comunes.

En este caso, la función es continua en los reales excepto en el conjunto de puntos formado por las raíces de D. Esto se debe a que las raíces de D son los puntos para los que el denominador se anula (no podemos dividir entre 0).

Funciones exponenciales

Son de la forma

donde a y b son constantes.

Son funciones continuas en todos los reales (excepto casos extraños: cuando la potencia es en realidad una raíz de orden par y su radicando, la base, es negativa, por ejemplo).

Función logarítmica

Son las funciones de la forma

Son continuas en los reales positivos.

Una función f se dice que es continua por la derecha en un punto a de su dominio si existe el límite lateral derecha en el punto a de la función y vale f(a), esto es, si

De forma análoga, se dice que es continua por la izquierda en un punto b de su dominio si

Nótese que una función es continua en un punto de su dominio si lo es en éste por izquierda y derecha. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

El único punto en el que debemos estudiar la continuidad es en x = 1, ya que en los otros la función es continua por ser constante o polinómica. Si la función es continua en 1, existirá el límite cuando x tiende a 1 y coincidirá con el de la función. Para ello, estudiamos los límites laterales, que han de coincidir y valer lo mismo que la función:

Por tanto,

La función es continua en x = 1 .Su gráfica es

Ejemplo 2

El único punto a estudiar es x = 0 , ya que en los demás es continua por ser una función polinómica o constante.

Estudiamos los límites laterales

pero

Con lo que no existe el límite cuando x tiende a 0 (por cada lado obtenemos un valor), con lo que la función no es continua en x = 0. La gráfica de la función es

Un extremo puede ser un máximo o un mínimo. Dada una función f decimos que presenta un máximo global en un punto a de su dominio si

f ( a ) ≥ f ( x ) para todo x del dominio.

Es decir, si existe un máximo es el punto cuya imagen es el valor más alto de todas las imágenes.

De forma análoga, decimos que f presenta un mínimo global en un punto a de su dominio si

f ( a ) ≤ f ( x ) para todo x del dominio.

Decimos que f que presenta un máximo local en un punto a de su dominio si existe un entorno de a en el dominio donde

f ( a ) ≥ f ( x ) para todo x de dicho entorno.

Es decir, un máximo local es un máximo de la función pero que no es un máximo absoluto, es decir, que es máximo en una zona (en un entorno).

De forma análoga, decimos que f presenta un mínimo local en un punto a de su dominio si existe un entorno de a en el dominio para donde

f ( a ) ≤ f ( x ) para todo x de dicho entorno.

Los extremos globales son, en particular, extremos locales. Para el estudio de los extremos empleamos métodos diferenciales: derivadas.

Ejemplos:

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Notemos que x = 2 es un máximo absoluto (y por tanto, también un máximo relativo).

Puesto que las funciones con las que trabajamos están definidas en conjuntos ordenados (los números reales) surge un nuevo concepto: monotonía.

Consiste en que como dados dos elementos del dominio hay una relación de orden entre ellos (uno es mayor que el otro), puede que exista una relación de orden entre las imágenes de estos elementos.

Para verlo intuitivamente, una función es creciente si su gráfica crece (de izquierda a derecha).

Dada una función f de los reales en los reales, decimos que f es monótona creciente si se cumple que

si x ≤ y entonces f ( x ) ≤ f ( y ) , donde x e y pertenecen al dominio.

De forma análoga, decimos que f es monótona decreciente si se cumple que

si x ≤ y entonces f(x) ≥ f(y ), donde x e y pertenecen al dominio.

Decimos que la monotonía es estricta cuando la función es monótona pero de forma estricta. Es decir, si x < y, entonces f(x) < f(y).

De forma análoga, f es estrictamente monótona decreciente si se cumple que si x < y entonces f(x) > f(y).

Nótese que si una función es estrictamente monótona creciente (o decreciente) es monótona creciente (o decreciente).

Ejemplos: una función constante es monótona creciente y decreciente (puesto que siempre se da la igualdad entre las imágenes), pero no son estrictamente crecientes ni decrecientes.

Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Es común omitir la palabra "monótona" y decir simplemente que una función es (estrictamente) creciente o decreciente.

Para estudiar la monotonía de funciones se trabaja con el criterio de derivadas primeras.