Ecuación 1
Solución
El discriminante de la ecuación es
$$ \Delta = b^2 - 4ac = $$
$$= 2^2 -4\cdot 1 \cdot 1 = $$
$$= 4-4 = 0$$
Por tanto, la ecuación tiene una solución real doble.
Aplicamos la fórmula:
Luego la solución doble es x = -1.
Una factorización de la ecuación es
$$ (x+1)^2 = 0 $$
Ecuación 2
Solución
Escribimos la ecuación en la forma general:
El discriminante es
$$ \Delta = b^2- 4ac = $$
$$ = (-1)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-2) = $$
$$ = 1 + 8 = 9 $$
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces simples.
Aplicamos la fórmula para obtenerlas:
Las soluciones son x = -1, 2.
y una factorización es
$$ (x+1)(x-2) = 0 $$
Ecuación 3
Solución
Multiplicamos por 3 la ecuación para evitar las fracciones:
El discriminante de la ecuación es
$$ \Delta = b^2-4ac = $$
$$= (-10)^2 -4\cdot 6 \cdot 4 =$$
$$ = 100-96 = 4 $$
Como Δ > 0, la ecuación tiene dos raíces simples.
Aplicamos la fórmula:
Las soluciones son
$$ x = 1,\ \frac{2}{3} $$
y una factorización es
$$ (x-1)\left( x-\frac{2}{3} \right) = 0 $$
Si queremos tener una igualdad entre los polinomios, tenemos que escribir el
coeficiente director de la ecuación original en la factorización:
$$ 2x^2 -\frac{10}{3}x + \frac{4}{3} = 2(x-1)\left( x-\frac{2}{3} \right) $$
Ecuación 4
Solución
Multiplicamos la ecuación por 6 toda la ecuación para evitar las fracciones:
El discriminante de la ecuación es
$$ \Delta = b^2- 4ac = $$
$$ = (-7)^2 - 4\cdot 6 \cdot 2 =$$
$$ = 49 - 48 = 1 $$
Como el discriminante es mayor que 0, la ecuación tiene dos
raíces simples. Aplicamos la fórmula para obtenerlas:
Las soluciones son
$$ x = \frac{2}{3},\ \frac{1}{2} $$
y la factorización es
$$ \left(x-\frac{2}{3} \right)\left(x-\frac{1}{2} \right) = 0 $$
Ecuación 5
Solución
El discriminante es
$$ \Delta = b^2 - 4ac =$$
$$ = 1^2 - 4\cdot 1 \cdot 1 = $$
$$ = 1 - 4 = - 3 $$
Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones
reales y, por tanto, no podemos factorizarla.
Problema Abierto
Encontrar las raíces de la
siguiente ecuación de segundo grado siendo a ≠ 0
$$ax^2-x-a^2x+a=0$$
¿Las encuentras? Puedes participar en
nuestro
foro.
Ecuación 6
Solución
Operamos en la ecuación para escribirla en su forma general:
El discriminante es
$$ \Delta = b^2- 4ac = $$
$$ = (-7)^2 -4\cdot 1\cdot (-18) =$$
$$ = 49 + 72 = 121 $$
Como Δ > 0, la ecuación tiene dos raíces simples.
Calculamos las raíces:
Por tanto, las soluciones son
$$ x = -2,\ 9 $$
y una factorización es
$$ (x-9)(x+2) = 0 $$
Ecuación 7
Solución
La ecuación está escrita en la forma general y su discriminante es
$$ \Delta = b^2- 4ac =$$
$$= (-2)^2 -4\cdot 1\cdot (-1) =$$
$$ = 4 + 4 = 8$$
Como Δ > 0, existen dos raíces y son simples.
Calculamos las raíces:
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = $$
$$ = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2} = $$
$$ = 1 \pm \sqrt{2} $$
Por tanto, tenemos las soluciones :
$$ x = 1 +\sqrt{2},\ 1 - \sqrt{2} $$
Una factorización de la ecuación es
$$ (x-1- \sqrt{2})(x-1+\sqrt{2}) = 0 $$
Ecuación 8
Solución
Escribimos la ecuación en la forma general.
Recordemos usar la fórmula del binomio (cuadrado de la resta):
Su discriminante es
$$ \Delta = b^2- 4ac = $$
$$ = (-2)^2 -4\cdot 1 \cdot (-3) = $$
$$ = 4 + 12 = 16 $$
La ecuación tiene dos raíces simples ya que el discriminante es positivo.
Aplicamos la fórmula para obtenerlas:
Las soluciones son
$$ x = 3,\ -1 $$
y una factorización es
$$ (x-3)(x+1) = 0 $$
Ecuación 9
Solución
El discriminante es
$$ \Delta = b^2 - 4ac =$$
$$ = 7^2 - 4\cdot (-1) \cdot (-5) =$$
$$ = 49 - 20 = 29 $$
Como Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones simples.
Como Δ = 29, las soluciones de la ecuación será un poco
complejas ya que la raíz de 29 no es exacta. Así pues, dejaremos la raíz:
una factorización de la ecuación es
Nota: hemos multiplicado por el coeficiente director de la ecuación.
Ecuación 10 (dificultad alta)
Solución
Calificamos esta ecuación como difícil por la presencia de
un parámetro: a. Pero procederemos como es habitual, la diferencia es que
no sabemos qué número es a y, además, no tenemos que confundir este
parámetro con el de la fórmula cuadrática:
Supondremos que a > 0 para evitar el uso de valores absolutos.
Escribimos la ecuación en la forma general:
El discriminante es
$$ \Delta = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4a^2) =$$
$$ = 4^2+ 16a^2 = $$
$$ = 20a^2 $$
El discriminante sólo puede ser positivo o cero (es cero cuando a = 0).
Como hemos supuesto que a es positivo, la ecuación tiene dos raíces simples.
Calculamos las raíces:
Por tanto, una factorización es