45 Problemas Resueltos de Ecuaciones de Primer Grado

1. El doble de un número es multiplicarlo por 2, por tanto, el doble de x es 2x.

2. El triple de un número es multiplicarlo por 3, por tanto, el triple de x es 3x.

3. El doble de x es 2x, por tanto, si le sumamos 5, tenemos 2x + 5.

4. El triple de x es 3x, así que su cuadrado es

   $$ (3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2 $$

   Nota: hemos usado que la potencia de un producto es el producto de las potencias.

5. La cuarta parte de x es

   $$ \frac{1}{4} \cdot x = \frac{x}{4}$$

   Por tanto, tres cuartas partes de x son

   $$ 3\cdot \frac{x}{4} = \frac{3x}{4} $$

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1. El doble de x es 2x, luego obtenemos la ecuación

   $$2x + 5 = 35$$

   Resolvemos la ecuación:

   $$2x = 35-5$$ $$2x = 30$$ $$x = \frac{30}{2}=15$$

   Por tanto el número es 15.

2. Sea x el número buscado, su consecutivo (el siguiente) se obtiene al sumarle 1. Así, la suma de x y de su consecutivo es

   $$x + ( x + 1 ) = 51$$

   Resolvemos la ecuación:

   $$2x +1 = 51$$ $$2x = 50$$ $$x = \frac{50}{2} = 25$$

   Por tanto, el número es 25.

3. El doble de x es 2x y la mitad de x es x/2.

   Tenemos la ecuación:

   $$x + 2x + \frac{x}{2} + 15 = 99$$

   La resolvemos:

   $$3x + \frac{x}{2} = 99-15$$

   $$3x + \frac{x}{2} = 84$$

   Tenemos que sumar fracciones:

   $$\frac{6}{2}x + \frac{1}{2}x = 84$$

   $$\frac{7}{2}x = 84$$

   $$x = \frac{84\cdot 2}{7}=24$$

   Por tanto el número buscado es 24.

4. La cuarta parte de x es x/4. Por tanto, queremos

   $$\frac{x}{4} = 15$$ $$x=15 \cdot 4 = 60$$

   El número es 60.

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Llamamos x a la edad de la madre.

La tercera parte de la edad de la madre es la misma que la de Marta, es decir, 15. Escrito matemáticamente:

$$\frac{x}{3} = 15$$

Por tanto, la edad de la madre es x = 45.

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Sea x la longitud de la cuerda. Sabemos que su tercera cuarta parte es 200, es decir

$$\frac{3x}{4} = 200$$

Por tanto, la cuerda mide

$$x = \frac{4\cdot 200}{3} = 266.667\ metros. $$

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Sea x el primer número. Su siguiente es x + 1, y el siguiente de éste es ( x + 1 ) + 1 = x + 2. Por tanto,

$$ x + (x + 1) + (x + 2) = 219$$ $$3x + 3 = 219$$ $$3x = 219-3$$ $$3x = 216$$ $$x = \frac{216}{3} = 72$$

Por tanto, los números son 72, 73 y 74.

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Sabemos que el espacio recorrido es igual a la velocidad por el tiempo.

Sea x el tiempo:

Espacio recorrido = velocidad · x

Sabemos que el espacio es 1km y la velocidad es 6km/h. Sustituimos en la ecuación:

$$ 1 = 6\cdot x$$

$$ x = \frac{1}{6}$$

Tardamos x = 1/6 = 0.1667 horas en llegar.

Es decir,

$$ 0.1667\cdot 60 = 10.002 \ minutos.$$

En realidad, son exactamente 10 minutos, pero obtenemos 10.002 porque hemos aproximado el valor de 1/6.

Nota: no olvidemos comprobar las unidades de medida. Si, por ejemplo, el espacio recorrido fuese en metros, tendríamos que pasarlo a kilómetros (o cambiar la unidad de la velocidad).

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Llamamos x al dinero que había en la hucha

25€ es la cuarta parte de lo que había, es decir,

$$ 25 = \frac{x}{4}$$

La solución de la ecuación es

$$ x = 25\cdot 4 = 100$$

Por tanto, en la hucha había 100€ y ahora hay

$$ 100 + 25 = 125\ euros$$

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x = edad de la madre de Ana

La mitad de la edad de la madre es 23, por tanto,

$$ \frac{x}{2} = 23$$

La edad de la madre es

$$x = 23\cdot 2 = 46$$

El padre de Ana tiene 5 años menos que su madre, es decir, el padre tiene 46 - 5 = 41 años.

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x = años que tienen que pasar

Cuando pasen estos años, los hermanos tendrán 2+x el pequeño y 3+x el mayor. Asimismo, Carmen tendrá 16+x años.

Queremos que

$$2( ( 2 + x )+( 3 + x ) ) = 16 + x$$

$$2( 2x + 5) = 16+x$$

$$4x +10 = 16 + x$$

$$4x-x = 16-10$$

$$3x = 6$$

$$x = \frac{6}{3}=2$$

Es decir, tienen que pasar 2 años.

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x = número que buscamos

x/2 es su mitad

2x es su doble

3x es su triple

Queremos que

$$\frac{x}{2} + 2x + 3x = 55$$ $$\frac{x}{2} + 5x = 55$$ $$\frac{1}{2}x + \frac{10}{2}x = 55$$ $$\frac{11}{2}x = 55$$ $$x = \frac{55 \cdot 2}{11}=10$$

Por tanto, el número es 10.

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x = precio pantalón

La camisa vale 2/5x.

Sabemos que el total son 20€, por tanto,

$$x + \frac{2}{5}x = 20$$

$$\frac{5}{5}x + \frac{2}{5}x = 20$$

$$\frac{7}{5}x = 20$$

$$x = \frac{20 \cdot 5}{7} = \frac{100}{7}=14,2857$$

El pantalón vale 14,29€.

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Primera parte:

x = número menor

La diferencia entre los dos es 17, entonces el mayor es x+17.

El doble del menor es 26, entonces 2x = 26, es decir, x = 13.

Los números son 13 y 13+17=30.

Segunda parte:

x = número mayor

La diferencia entre los dos es 17, entonces el menor es x-17.

El doble del mayor es 26, entonces, 2x = 26, es decir, x = 13.

Los números son 13 y 13-17=-4.

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x = edad actual de Ernesto

5 años atrás Ernesto tenía x - 5 años y Juan tenía 10.

Hace 5 años la edad de Ernesto, x-5, era el triple que la de Juan, es decir,

$$x - 5 = 3\cdot 10$$

Por tanto, x = 30 + 5 = 35

Ernesto tiene ahora 35 años.

Juan tendrá 35 años dentro de 35 - 15 = 20 años.

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x = número de peces en la pecera mediana

x/2 = número de peces en la pecera pequeña

2x =número de peces en la pecera grande

Como el total de peces es 56, tenemos la ecuación de primer grado

$$x + \frac{x}{2} + 2x = 56$$

Resolvemos:

$$3x + \frac{x}{2} = 56$$

Tenemos que sumar las fracciones:

$$\frac{6x}{2} + \frac{x}{2} = 56$$

$$\frac{7x}{2} = 56$$

La solución es

$$x = \frac{56\cdot 2}{7}= 16$$

Peces en la pequeña: 16/2=8

Peces en la mediana: 16

Peces en la grande: 2·16=32

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La cantidad de caramelos de dos de ellos es la mitad del total, con lo que el otro niño tendrá la otra mitad, es decir, el tercer niño tendrá 510/2 = 255 caramelos.

Ahora quedan los 255 caramelos a repartir entre los dos primeros.

x = número de caramelos de uno de los dos primeros niños, el que tiene la mayor cantidad

El otro niño tiene la mitad de x, es decir, x/2.

La suma de los caramelos de los dos es 255, es decir, tenemos la ecuación

$$ x + \frac{x}{2} = 255$$

Sumamos las fracciones

$$ \frac{3x}{2} = 255 $$

$$ x = \frac{255\cdot 2}{3} = 170$$

Uno tiene 170 caramelos y el otro tiene 170/2 = 85.

La cantidad de caramelos que tiene cada niño es: 255, 170 y 85.

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x = cucharas en la casa

En el lavaplatos hay la tercera parte del total, es decir:

$$\frac{x}{3}$$

Las restantes estaban, al principio, en el cajón. Había en el cajón

$$ \frac{2x}{3}$$

La mitad de las que había en el cajón son 15 cucharas. Es decir, en el cajón había 30.

Podemos igualar a 30 la expresión anterior:

$$ \frac{2x}{3} = 30 $$

De donde obtenemos que

$$x = \frac{30\cdot 3}{2} = 45$$

En la casa hay 45 cucharas. De estas 45 cucharas, 15 están en el lavaplatos. Las 30 restantes están 15 en la mesa y 15 en el cajón.

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x = número inicial de productos

En los dos primeros días se venden

$$\frac{x}{3}$$

Al día siguiente se recibe la mitad de la cantidad vendida que es 15, es decir, tenemos la ecuación

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{3} = 15 $$

Hemos multiplicado por 1/2 para obtener la mitad.

Resolvemos la ecuación:

$$ \frac{x}{6} = 15$$

$$ x = 15 \cdot 6 = 90$$

En la tienda había 90 productos.

En los dos primeros días se venden

$$\frac{x}{3} = \frac{90}{3} = 30$$

La cantidad después de la venta y del abastecimiento es: 90 - 30 + 15 = 75 productos.

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x = precio del libro

Dinero que le queda a Juan: 400 - x

Dinero que le queda a Rosa: 350 - x

El dinero que le queda a Rosa es 5/6 del que le queda a Juan, por tanto,

$$ 350 - x = \frac{5}{6}( 400 - x )$$

Multiplicamos por 6

$$ 2100 - 6x = 5(400-x) $$ $$ 2100 - 6x = 2000 -5x $$ $$ 2100 - 2000 = 6x -5x$$ $$ 100 = x$$

El precio del libro es 100€

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x = dinero inicial de Ana

Dinero inicial de Ester es el triple que el de Ana, es decir, Ester tenía3x

Dinero inicial de Héctor es el doble que el de Ester, por tanto, Héctor tenía 2·3x = 6x

Se realiza el reparto:

Héctor tiene 50€ menos, es decir, Héctor tiene 6x-50

Ana tiene 25€ más, es decir, Ana tiene x + 25

Ester tiene 25€ más, es decir, Ester tiene 3x + 25

Ahora Ester tiene la misma cantidad que Héctor, es decir, 3x + 25 = 6x - 50. Ecuación cuya solución es x = 25.

Inicialmente tenían:

Ester: 3·25 = 75€

Ana: 25€

Héctor: 6·25 = 150€

Después del reparto:

Ester: 75 + 25 = 100€

Ana: 25 + 25 = 50€

Héctor: 150 - 25 = 100€

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x = capacidad del depósito

Antes de ducharse, el depósito se encuentra al 2/7, es decir, hay

$$\frac{2}{7}x \ litros$$

El primero consume 1/5 del agua que hay en el depósito, es decir, consume

$$\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7}x = \frac{2}{35}x$$

Puesto que el primero consume

$$\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7}x$$

después de ducharse quedan

$$\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{7}x = \frac{8}{35}x$$

Con lo que el segundo consume

$$\frac{1}{3} \cdot \frac{8}{35}x = \frac{8}{105}x$$

El tercero consume 3/4 de lo que consume el primero, es decir, consume

$$\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{35}x = \frac{3}{70}x$$

El tercero consume 10L, por tanto,

$$\frac{3}{70}x = 10$$

es decir,

$$x = \frac{700}{3}$$

La capacidad del depósito es de 700/3 = 233.33 litros.

El primero consume 2/35·700/3 = 40/3 = 13.33 litros.

El segundo consume 8/105·700/3 = 160/9 = 17.77 litros.

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Sabemos que el espacio recorrido es la velocidad por el tiempo, es decir,

$$ e = v\cdot t $$

Los datos que tenemos son

$$e = 10km,\ v=40km/h$$

Como tenemos las mismas unidades (km), sólo tenemos que sustituir en la ecuación y despejar la t, que estará dada en horas (h).

$$ 10 = 40\cdot t$$

Resolvemos la ecuación:

$$ t= \frac{10}{40} =\frac{1}{4} = 0.25h$$

Podemos pasar el tiempo a minutos (multiplicando por 60):

$$ t = 0.25\cdot 60 = 15 min$$

Nota: podemos escribir las unidades en la ecuación y tratarlas como otros factores. Así, cuando tenemos una gran cantidad y variedad de unidades, es más fácil saber cuál es la unidad del resultado:

$$10km = \frac{40km}{h}\cdot t $$

Despejamos la t:

$$ t = \frac{10km}{40km}h$$

Y ahora, como km está multiplicando en el numerador y en denominador, los podemos quitar:

$$ t = \frac{10}{40}h= \frac{1}{4}h = 0.25h = 15min$$

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El espacio recorrido es la velocidad por el tiempo, es decir,

$$ e = v\cdot t $$

Como queremos saber el tiempo, t, vamos a despejar la t antes de sustituir los datos en la ecuación:

$$ e = v\cdot t \ \rightarrow \ t =\frac{e}{v} $$

Tenemos los datos

$$ e=108km,\ v=120m/h $$

Tenemos las unidades de kilómetros (km) y metros (m), así que tenemos que pasarlas a la misma unidad. Escribiremos la velocidad en km/min. De este modo tenemos km en ambos datos y, además, obtendremos el tiempo en minutos.

$$ v = \frac{120m}{h} = \frac{120:1000km}{60min} $$

Notemos que hemos dividido por 1000 para pasar de metros a kilómetros y multiplicado por 60 para pasar de horas a minutos. Haciendo los cálculos:

$$ v = \frac{0.12 km}{60min} \simeq 0.002 km/min$$

Ahora sustituimos los datos y obtenemos el tiempo

$$ t = \frac{e}{v} = \frac{108km}{0.002km/min} = 54000\ min $$

Nota: como min está dividiendo en el denominador, pasa multiplicando en el numerador; km desaparece porque está multiplicando en el numerador y en el denominador.

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El espacio recorrido e es igual a la velocidad v por el tiempo t, es decir,

$$ e = v\cdot t $$

Conocemos los datos

$$ v=5m/s,\ t=2h $$

Tenemos distintas unidades de tiempo. Pasamos el tiempo a segundos:

$$ t=2\ h = 2\cdot 60\ min = 120\ min = 120\cdot 60\ s =7200\ s $$

No pasamos todavía los 5m a km para no trabajar con decimales.

Finalmente, sustituimos en la ecuación y pasamos a km:

$$ e = v\cdot t = \frac{5\ m}{s} \cdot 7200\ s = 36000\ m =36\ km$$

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El espacio recorrido es igual a la velocidad por el tiempo, es decir,

$$ e = v\cdot t $$

Como queremos saber el tiempo, t, vamos a despejar la t antes de sustituir los datos en la ecuación:

$$ e = v\cdot t \ \rightarrow \ t =\frac{e}{v} $$

Sustituimos los datos para el ganador:

$$ t= \frac{45\ km}{16\ km/h} = 2.81\ h \simeq 2\ h\ 48\ min $$

Para escribir el tiempo en horas y en minutos hemos hecho:

$$2.81\ h = 2\ h +0.81\ h = 2\ h + 0.81\cdot 60\ min \simeq 2\ h\ 48\ min$$

Sustituimos los datos para el último clasificado:

$$ t= \frac{45\ km}{7.5\ km/h} = 6\ h$$

Por tanto, el primer clasificado tardó 2h 48min y el último tardó 6h.

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Tenemos los siguientes datos iniciales:

• Ecuación del espacio recorrido:

  $$e=v\cdot t$$

• Velocidad del camión:

  $$ v_c = 60km/h$$

• Velocidad de la bicicleta:

  $$ v_b = 25km/h$$

Cuando los dos vehículos se encuentran, el camión ha recorrido una distancia mayor que el ciclista (ya que su velocidad es mayor). Como no conocemos esta distancia, la llamaremos x. Asimismo, el ciclista habrá recorrido 50-x km.

El esquema del problema es

A los datos iniciales tenemos que añadir el espacio recorrido por el camión

$$ e_c=x $$

y el recorrido por la bicicleta

$$ e_b = 50-x$$

Los tiempos son los mismos ya que ambos salen en el mismo instante:

$$ t_c = t_b $$

Sustituimos en la ecuación los datos del camión:

$$ e_c=v_c \cdot t_c $$

$$ x=60\cdot t_c $$

$$ t_c = \frac{x}{60}$$

Por otro lado, si sustituimos los datos de la bicicleta tenemos

$$ e_b=v_b \cdot t_b $$

$$ 50-x=25\cdot t_b $$

$$ t_b = \frac{50-x}{25}$$

Pero, como ya hemos dicho anteriormente, los tiempos son el mismo para ambos vehículos y, por tanto, podemos igualarlos obteniendo así una ecuación de primer grado:

$$ t_c = t_b $$

$$ \frac{x}{60} = \frac{50-x}{25} $$

Resolvemos la ecuación:

$$ 25x = 3000 - 60x$$

$$ 85x = 3000$$

$$ x = \frac{3000}{85} \simeq 35.3$$

Por tanto, cuando se encuentran, el camión ha recorrido unos 35.3km y el ciclista 50 - 35.3 = 14.7 km.

Como queremos saber el tiempo, sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones que tenemos:

$$ t_c = \frac{x}{60} = \frac{35.3 km}{60km/h} \simeq 0.59h = 35.4min$$

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Sea x el primero de los tres números, es decir, el más pequeño. El número consecutivo de x es

$$ x+1$$

Del mismo modo, el consecutivo de x + 1 es

$$(x+1)+1 = x+2 $$

La suma de estos tres números es 36, lo que matemáticamente se expresa con la ecuación

$$x + (x+1) + (x+2) = 36$$

La resolvemos:

$$x + x + 1 +x +2 = 36$$

$$ 3x+ 3 = 36$$

$$ 3x = 36-3 $$

$$ 3x = 33 $$

$$ x = \frac{33}{3} = 11 $$

Por tanto, los tres números son 11, 12 y 13.

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Sea x la edad de Andrés, entonces la edad de Juan es x - 21. La suma de ambas edades es 47:

$$x + (x-21) = 47$$

Resolvemos la ecuación de primer grado:

$$ x + x -21 = 47$$

$$ 2x = 47+21 $$

$$ 2x = 68 $$

$$ x = \frac{68}{2} = 34$$

Por tanto, la edad de Andrés es x = 34 y la de Juan es x - 21 = 34 - 21 = 13.

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Como Carla es la menor de las dos, su edad nunca será el doble que la de Marta. Pasados x años, la edad de Marta es 27 + x y la de Carla es 11 + x.

Exigimos que, pasados x años, la edad de Marta sea el doble que la de Carla:

$$ 27+x = 2(11+x)$$

Resolvemos la ecuación:

$$ 27 + x = 2\cdot 11+ 2x$$

$$ 27 + x = 22+2x $$

$$ x -2x = 22 - 27 $$

$$ -x = -5 $$

$$ x = 5 $$

Dentro de 5 años, la edad de Marta será el doble que la de Carla.

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Llamamos x a la longitud del trayecto en kilómetros. Hemos recorrido tres séptimas partes, es decir,

$$ \frac{3}{7}\cdot x $$

Como este tramo del trayecto son 21 kilómetros, podemos igualar la expresión anterior a 21, obteniendo la ecuación

$$ \frac{3}{7}\cdot x = 21 $$

Cuya solución es

$$ x = 21\cdot \frac{7}{3} = 49$$

El trayecto es de 49 km y nos faltan por recorrer 49 - 21 = 28 km.

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Sea x la primera cifra. Como la segunda es el doble de la primera, debe ser 2x; y la tercera, que es la suma de las dos primeras, debe ser x + 2x = 3x.

Por tanto, el número tiene la forma

$$\left[ x\right] \left[ 2x\right] \left[ 3x\right]$$

donde los tres corchetes los usamos para separar las tres cifras.

Como el número tiene tres cifras, la primera no puede ser 0. Por tanto,

$$x \neq 0$$

Además, las otras dos cifras tampoco pueden ser 0 según las relaciones que existen entre ellas.

Damos valores a x:

• Si x = 1, entonces el número es 123.

• Si x = 2, entonces el número es 246.

• Si x = 3, entonces el número es 369.

Ya no hay más posibilidades porque si x > 3, entonces la tercera cifra es el número 3x > 9, que tiene más de una cifra. Luego los números son 123, 246 y 369.

La suma de las cifras de cada uno de estos números es 6, 12 y 18, respectivamente, todas ellas son múltiplos de 6. Esto se debe a que la suma de las cifras es

$$x + 2x + 3x = 6x$$

Esto es, la suma siempre es 6·x y, por tanto, múltiplo de 6.

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Sea x la edad de Pablo. Como José tiene 14 años más que Pablo, tiene x + 14. Dentro de 10 años, la edad de Pablo será x + 10 y la de José será

$$(x + 14) + 10 = x + 24$$

La ecuación la obtenemos al exigir que el doble de la edad de José sea el triple de la de Pablo:

$$ 3(x + 10) = 2(x + 24) $$

Resolvemos la ecuación:

$$ 3x + 30 = 2x + 48 $$

$$ 3x-2x = 48-30 $$

$$ x = 18 $$

Por tanto, la edad de Pablo es 18 y la de José es 18 + 14 = 32.

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Sea x a la cantidad de libretas compradas. La cantidad de lápices es el triple que la de libretas, es decir, es 3x. Como el precio de un lápiz es de 0.5$ y compramos 3x, pagamos por todos ellos

$$ 0.5\cdot 3x$$

Como el precio de cada libreta es de 3.5$ y compramos x, pagamos por todas ellas

$$ 3.5 \cdot x $$

La suma de las dos cantidades es 20$, es decir,

$$ 0.5 \cdot 3x + 3.5 \cdot x = 20 $$

Resolvemos la ecuación:

$$ 1.5x + 3.5x = 20 $$

$$ 5x = 20 $$

$$ x= \frac{20}{5} = 4 $$

Por tanto, hemos comprado 4 libretas y 3x = 3·4 = 12 lápices.

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Sabemos que la distancia recorrida x es igual a velocidad v por tiempo t:

$$ x = v\cdot t $$

Los datos que tenemos son:

• Tiempo:

  $$ t = 1h\ 30min $$

  Como lo tenemos expresado en horas y en minutos, lo escribimos sólo en horas. Los 30 minutos son 0.5 horas, así que el tiempo es

  $$ t = 1h\ + 0.5h = 1.5h $$

• Distancia:

  $$ x = 930km $$

Aislamos la velocidad v de la ecuación:

$$ x = v\cdot t\ \rightarrow\ v =\frac{x}{t} $$

Sustituimos en ella los datos que conocemos:

$$ v =\frac{930km}{1.5h} = 620km/h $$

Por tanto, la velocidad media del avión es de 620km/h. Decimos velocidad media porque estamos suponiendo que la velocidad del avión es constante (no varía), pero en la vida real no es así.

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Sabemos que

$$ x = v\cdot t $$

Los datos que tenemos son:

• Velocidad:

  $$ v = 3500km/h $$

• Tiempo:

  $$ t = 1s $$

La velocidad es en kilómetros por hora y el tiempo en segundos. Necesitmos que las unidades de tiempo sean la misma, así que escribimos la velocidad en kilómetros por segundo (multiplicando en el denominador dos veces por 60):

$$ v = \frac{3500km}{1h} = \frac{3500km}{60min}=$$

$$ = \frac{3500km}{3600s} \simeq 0.9722 km/s$$

Al expresar la velocidad en esta unidad ya sabemos cuántos kilómetros recorre el avión en 1 segundo: 0.9722km. O sea, casi 1 km en un segundo.

Ahora vamos a calcular el tiempo necesario t para recorrer 20000km que separan los polos a una velocidad de 3500km/h:

Aislamos el tiempo en la ecuación:

$$ x= v\cdot t \ \rightarrow\ t =\frac{x}{v} $$

Sustituimos los datos:

$$ t=\frac{20000km}{3500km/h} \simeq 5.71h \simeq 5h\ 42min $$

El tiempo lo hemos escrito en horas y minutos del siguiente modo:

$$ 5.71h = 5h + 0.71h = 5h + 0.71 \cdot 60min =5h\ 42min$$

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Sea x la cantidad de libros en la estancia B.

• En la estancia A hay el triple de libros que en la B, es decir, hay 3x.

• En la estancia B hay la mitad que en la C, que es lo mismo que decir que en C hay el doble que en B, es decir, en C hay 2x.

• Sabemos que en total hay 5400, luego la suma de los libros de todas las estancias es 5400.

  Obtenemos la ecuación:

  $$ 3x + x + 2x = 5400 $$

  Cuya solución es

  $$ x=\frac{5400}{6} = 900 $$

Como x representa los libros que hay en B, tenemos:

• La cantidad de libros en B es

  $$ x = 900 $$

• La cantidad de libros en A es

  $$ 3x = 3\cdot 900 = 2700 $$

• La cantidad de libros en C es

  $$ 2x = 2\cdot 900 = 1800 $$

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Los números pares son los múltiplos de 2.

Sea n un número natural, entonces, el número 2·n es un múltiplo de 2 y, por tanto, un número par.

Algunos ejemplos:

$$ n $$	Número par
$$1$$	$$ 2\cdot 1 = 2$$
$$2$$	$$ 2\cdot 2 = 4$$
$$3$$	$$ 2\cdot 3 = 6$$
$$4$$	$$ 2\cdot 4 = 8$$

Del mismo modo, si a n le añadimos un signo negativo, los números 2·(-n) son los números pares negativos:

$$ n $$	Número par
$$-1$$	$$ 2\cdot (-1) = -2$$
$$-2$$	$$ 2\cdot (-2) = -4$$
$$-3$$	$$ 2\cdot (-3) = -6$$
$$-4$$	$$ 2\cdot (-4) = -8$$

Como el 0 es el resultado del producto 2·0 = 0, también se considera como un número par.

En resumen, el conjunto de los números pares es

$$2\mathbb{Z} =\{\ 2\cdot n\ |\ n\in\mathbb{Z} \} $$

Nota: la expresión anterior significa "conjunto formado por los números 2·n donde n es un número entero".

Si a todos los número pares les sumamos 1, obtenemos los números impares.

Por tanto, el conjunto de los números impares es

$$2\mathbb{Z}+1 = \{\ 2\cdot n+1\ |\ n\in\mathbb{Z} \} $$

Ejemplos:

$$ n $$	Número impar
$$-1$$	$$ 2\cdot (-1) +1 = -1$$
$$1$$	$$ 2\cdot 1 + 1 = 3$$
$$-2$$	$$ 2\cdot (-2) +1= -3$$
$$2$$	$$ 2\cdot 2 +1= 5$$
$$-3$$	$$ 2\cdot (-3) +1= -5$$
$$3$$	$$ 2\cdot 3 +1= 7$$
$$-4$$	$$ 2\cdot (-4)+1 = -7$$
$$4$$	$$ 2\cdot 4+1 = 9$$

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Como los tres números son pares, son de la forma 2·n, siendo n un número entero. Sea 2n el menor de los tres.

Puesto que 2n es par, su número consecutivo, 2n + 1, es impar. El consecutivo de éste último número es (2n + 1) + 1 = 2n + 2, que es el par consecutivo de 2n.

El par consecutivo de 2n + 2 es (2n + 2) + 2 = 2n + 4.

La suma de los tres números es 300:

$$ 2n + (2n+2) + (2n+4) = 300 $$

Resolvemos la ecuación:

$$ 2n + 2n+2 + 2n+4 = 300 $$

$$ 6n + 6 = 300 $$

$$ 6n = 294 $$

$$ n = \frac{294}{6} = 49 $$

Por tanto, los tres números pares consecutivos que suman 300 son:

$$ 2n = 2\cdot 49 = 98 $$

$$ 2n +2 = 98 +2 = 100 $$

$$ 2n + 4 = 98 +4 = 102$$

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El número par será de la forma 2n, siendo n un número entero.

El número impar será de la forma 2m + 1, siendo m un número entero.

La suma de los dos números es

$$ 2n + (2m+1)$$

Podemos expresar esta suma como:

$$ 2(n+m) + 1 $$

Como n y m números enteros, su suma también es un número entero. A este entero lo podemos llamar s y la suma queda como

$$ 2s +1 $$

Como s es un entero, el número 2s + 1 es un número impar.

Como los dos números son pares, serán de la forma 2n y 2m, siendo n y m números enteros.

La suma de los dos números pares es

$$ 2n + 2m = 2 (n+m)$$

Como n y m son números enteros, su suma también lo es. Si llamamos s = n + m, la suma de los dos pares es el número par 2s.

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Al ser los dos números pares, serán de la forma 2n + 1 y 2m +1, siendo n y m números enteros.

La suma de los dos números impares es

$$ (2n+1) + (2m+1) = 2n+2m+2 =2(n+m+1)$$

Como n y m son números enteros, su suma es un número entero y su suma más 1 también. Si llamamos s = n + m +1, la suma de los dos pares es el número par 2s.

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Como los números son consecutivos y dos de ellos son impares y el otro es par, deben ser, ordenados de menor a mayor: impar, par e impar.

La otra opción (par, impar y par) no es posible.

Puesto que el número menor es impar, debe tener la forma:

$$ 2n +1 $$

siendo n un número entero.

El consecutivo de este número es par:

$$ (2n +1) +1 = 2n +2$$

Y el consecutivo de este último es impar:

$$ (2n+2) + 1 = 2n +3 $$

Sabemos que la suma es el doble del menor de los tres números, es decir, es el número

$$ 2\cdot (2n+1) = 4n +2 $$

Igualamos la suma al número anterior:

$$ (2n+1) + (2n+2) + (2n+3) = 4n +2 $$

Resolvemos la ecuación de primer grado:

$$ 2n +1 +2n + 2 + 2n + 3 = 4n +2 $$

$$ 6n + 6 = 4n +2 $$

$$ 6n -4n = 2-6 $$

$$ 2n = -4 $$

$$ n = \frac{-4}{2} = -2$$

Calculamos los números:

$$ 2n +1 = 2\cdot (-2)+1 = -3 $$

$$ 2n +2 = 2\cdot (-2)+2 = -2 $$

$$ 2n +3 = 2\cdot (-2)+3 = -1 $$

Los tres números son consecutivos, siendo el primer y el tercero números impares.

La suma de los tres números es

$$ -3 -2 -1 = -6 $$

Es el doble del menor de los tres números (-3).

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Los cuatro números son múltiplos de 4. El menor de ellos es:

$$ 4x $$

siendo x un número entero.

El consecutivo que sea múltiplo de 4 de este número lo obtenemos sumando 4:

$$ 4x + 4 $$

Y el consecutivo que sea múltiplo de 4 de éste último es:

$$ (4x +4) + 4 = 4x + 8 $$

Del mismo modo, el mayor de los cuatro es:

$$ (4x+8) + 4 = 4x + 12 $$

El triple del menor de los cuatro es

$$3\cdot 4x = 12x $$

Por tanto, tenemos la ecuación

$$ (4x) + (4x+4) + (4x+8) + (4x+12) = 12x$$

La resolvemos:

$$ 16x + 24 = 12x$$

$$ 16x -12x = -24 $$

$$ 4x = -24 $$

$$ x = \frac{-24}{4} = -6$$

Luego los cuatro números son

$$ 4x = 4\cdot (-6) = -24 $$

$$ 4x+4 = 4\cdot (-6)+4 = -20 $$

$$ 4x+8 = 4\cdot (-6) +8= -16 $$

$$ 4x +12= 4\cdot (-6) +12 = -12 $$

La suma de los tres números es -72, que es el triple del menor de los cuatro números (-24·3 = -72).

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Como los dos números son pares, podemos escribirlos como 2n y 2m, siendo n y m números enteros.

El producto de los números es

$$ 2n\cdot 2m = 2\cdot 2 \cdot n \cdot m = 2\cdot (2nm)$$

Si escribimos

$$s = 2\cdot n\cdot m $$

(s es un número entero), el producto es 2·s siendo s un entero, por lo que es par.

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Como uno de los números es par y el otro es impar, podemos escribirlos como 2n (el par) y 2m + 1 (el impar), siendo n y m números enteros.

El producto de los números es

$$ 2n\cdot (2m+1) = 2\cdot (2mn + n)$$

Si escribirmos s = 2mn + n (es un número entero), el producto es 2·s siendo s un entero, por lo que es un número par.

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Haremos una demostración distinta (y más corta) que las anteriores:

Como los números son impares, no son divisibles entre 2. Por tanto, su producto tampoco es divisible entre 2 ya que si lo fuera, alguno de los dos números también lo sería y, por tanto, sería par.