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Calcular área y volumen del octaedro regular

En esta página definimos octaedro y demostramos las fórmulas de la altura, el área y el volumen de un octaedro regular. También, proporcionamos una calculadora online y algunos problemas resueltos de aplicación.

Contenido de esta página:

  1. Calculadora online
  2. Definición de octaedro
  3. Fórmulas del área, altura y volumen
  4. Problemas resueltos

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1. Calculadora de la altura, área y volumen

Definimos octaedro y demostramos las fórmulas de la altura, el área y el volumen de un octaedro regular. También, proporcionamos una calculadora online y algunos problemas resueltos de aplicación. Matemáticas. Geometría.

Sólo se admiten números enteros y decimales (utilizando el punto decimal "."). Los resultados se aproximan con \(n\) decimales.

Lado: \(L = \)

Decimales: \(n = \)

2. Definición de octaedro

Un octaedro es un poliedro de \(8\) caras, \(6\) vértices y \(12\) aristas.

Representación de un octaedro no regular (sólido de Johnson J3), formado por \(4\) triángulos equiláteros, \(3\) cuadrados y \(1\) hexágono de igual lado:

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Si todas las caras son triángulos equiláteros iguales, el octaedro es regular.

Representación de un octaedro regular:

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Un octaedro puede verse como una bipirámide cuadrangular (o cuadrilátera), es decir, como la unión de dos pirámides cuadrangulares por sus bases.

3. Fórmulas del área, altura y volumen

Área

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Las \(8\) caras del octaedro regular de arista \(L\) son triángulos equiláteros de lado \(L\).

El área de un triángulo equilátero de lado \(L\) es

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Por tanto, el área del octaedro regular de arista \(L\) es

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Altura

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Consideramos el octaedro regular como una bipirámide cuadrangular.

Vamos a calcular altura (\(h\)) de una pirámide cuadrangular con caras regulares:

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La altura de la pirámide une la cúspide de la pirámide con el centro de su base, que es un cuadrado.

Observad que la mitad de la diagonal de la base (\(D/2\)), la altura de la pirámide (\(h\)) y una arista lateral de la pirámide (\(L\)) forman un triángulo rectángulo:

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Por el teorema de Pitágoras,

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La diagonal de un cuadrado de lado \(L\) es

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Por tanto, tenemos

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Por tanto, la altura del octaedro regular (vista como la distancia entre las cúspides de las pirámides) es

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Volumen

El volumen de una pirámide es un tercio del producto del área de la base por la altura de la pirámide.

El volumen de una pirámide cuadrada de arista \(L\) es

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Por tanto, el volumen de un octaedro regular de arista \(L\) es

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4. Problemas resueltos

Problema 1

Calcular la altura y el área del octaedro regular de arista \( L = \sqrt{6}/6\text{ cm}\).

Ver solución

Problema 2

Calcular el volumen de un octaedro regular de área \( A = 8\sqrt{3}\text{ m}^2\).

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Problema 3

Calcular cuánto mide la arista de un octaedro regular cuyo volumen es \( V = 4/3\text{ m}^3\).

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