Criterio de la segunda derivada

En esta página enunciamos y demostramos el criterio de la segunda derivada y proporcionamos un par de ejemplos de su aplicación.

Contenido de esta página:

1. Enunciado del criterio
2. Aplicaciones del criterio
3. Ejemplos de aplicación
4. Demostración del criterio

Recordatorio del concepto de extremo relativo o local:

La aplicación directa del criterio de la segunda derivada es determinar si los puntos críticos de una función (puntos que anulan la primera derivada) son máximos o mínimos.

Si hay extremos, podemos deducir la monotonía de la función alrededor de éstos.

Además de esto, los puntos que anulan la segunda derivada son candidatos a ser puntos de inflexión (puntos donde la curvatura de la función cambia de tipo (concavidad y convexidad)).

Ejemplo 1

Determinar si los extremos de la siguiente función son máximos o mínimos:

Calculamos la primera derivada:

Calculamos los puntos críticos:

Calculamos la segunda derivada:

Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos:

Por tanto, \(f\) tiene un máximo local en \(x = 0\) y un mínimo local en \(x = 2\).

Gráfica:

Ejemplo 2

Hallar los posibles puntos de inflexión de la función anterior.

Como los puntos de inflexión anulan la segunda derivada, resolvemos la ecuación \(f''(x)=0\):

Observando la gráfica anterior, el punto \(x=1\) es un punto de inflexión: la función pasa de cóncava a convexa.

Demostramos el caso del mínimo (el máximo es análogo).

Demostración

Supongamos que \(f''(z)> 0\).

Como \(f'(z) = 0\), aplicando la definición de la segunda derivada, tenemos

Por la definición de límite, \(\exists \delta >0\), tal que \( \frac{f'(x)}{x-z} > 0\) para todo \(x\in ]z-\delta, z+\delta[ , \ x\neq z\).

En particular,

Por el criterio de la primera derivada, \(f\) es estrictamente monótona decreciente y creciente, respectivamente, a la izquierda y a la derecha de \(z\). Por tanto, \(f\) presenta en \(z\) un mínimo.

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