Guillaume de l'Hôpital y "su" regla
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Sobre Guillaume de l'Hôpital y la regla que lleva su nombre
Guillaume de l'Hôpital y "su" regla
Guillaume François de l’Hôpital (1661-1704), más conocido como marqués de l’Hôpital, fue un matemático parisino conocido por la llamada Regla de L’Hôpital.
Esta regla permite, como veremos a continuación, el cálculo de límites de fracciones en las que el numerador y denominador tienden ambos al infinito o a cero.
En realidad, esta regla fue demostrada por Johann Bernoulli (1667-1748), pero por un acuerdo entre ambos, el descubrimiento lo publicó el marqués en su obra Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes en 1696. Esta obra es considerada el primer libro publicado sobre cálculo diferencial.
El acuerdo secreto fue revelado por el propio Bernoulli que, tras la muerte del marqués, aseguró ser el verdadero autor de la mayoría de los resultados publicados por l’Hôpital.
Cabe decir que, aunque se dice que l’Hôpital quiso llevarse los méritos, nunca anunció ser el descubridor y, de hecho, agradeció a Bernoulli su ayuda en su libro.
Ejemplos de Aplicación
La regla la usaremos para calcular límites con la indeterminación del tipo 0/0 y la de infinito dividido infinito. En realidad, como veremos en los ejemplos, podemos usarla para otro tipo de indeterminaciones.
Si tenemos las indeterminaciones
$$ \frac{\infty}{\infty},\ \frac{0}{0} $$
Derivamos en el numerador y en el denominador para calcular el límite.
Dicho matemáticamente (de forma no rigurosa):
$$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
Podemos aplicar la regla tantas veces como queramos, siempre que tengamos la indeterminación cociente de infinitos o de ceros.
La regla es cierta tanto para los límites con x tendiendo a un punto como a infinito.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Demostración de la Primera Regla de L'Hôpital
Sean f y g dos funciones derivables en ]a,b[ con g(x) y g'(x) distintos de 0. Si
entonces
El resultado es cierto también para
Demostración
Supondremos que α es real, los demás casos son análogos. Definimos f(a) = g(a) = 0. Entonces, f y g son continuas en [a,b[ y derivables en ]a,b[. Por el teorema del valor medio de Cauchy, para cada cx en ]a,x[ tal que
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