Matrices especiales

Listado de matrices: identidad, diagonal, triangular, traspuesta, adjunta, simétrica, antisimétrica, definida positiva, diagonalmente dominante, Hessenberg y Vandermonde.

El uso de las matrices es esencial en las matemáticas, tanto que se utilizan en prácticamente todas sus disciplinas. Por esta razón, existen propiedades y teoremas para matrices con una determinada forma. Por ejemplo, el algoritmo de un ordenador que resuelve un sistema de ecuaciones puede ser mucho más eficiente si la matriz es triangular, y todavía más, si la matriz es diagonal.

En esta página vamos a numerar algunos de los tipos de matrices más importantes y algunas de sus propiedades. Algunas de las propiedades se demuestran en la página: problemas teóricos de matrices.

Notación: Dada una matriz \(A\) de dimensión \(mxn\), denotamos el elemento de la fila \(i\) y columna \(j\) como \(a_{i,j}\) ó \(a_{ij}\), siendo \(1\leq i\leq m\) y \(1\leq j\leq n\). Para simplificar, escribiremos \(A = ({a_{ij}})\).

Recordad también:

La matriz identidad de dimensión \(n\), \(I_n\), es la matriz de dimensión \(nxn\) formada por 1's en la diagonal principal y 0's en las restantes posiciones.

Es decir, la matriz identidad es la matriz cuadrada \(A = (a_{ij})\) con \(a_{ij}=1\) si \(i=j\) y \(a_{ij}=0\) si \(i\neq j\).

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Una matriz \(A = (a_{ij})\) es diagonal cuando los elementos que no están en la diagonal son 0. Es decir, \(a_{ij}=0\) si \(i\neq j\).

Por ejemplo,

La matriz identidad es una matriz diagonal.

Normalmente, las matrices diagonales se escriben indicando su diagonal. Por ejemplo, las matrices anteriores son

Podemos indicar la dimensión si puede dar lugar a confusión:

Sea la matriz \(A = (a_{i,j})\). Llamamos diagonal principal o diagonal 0 al vector formado por los elementos \(a_{i,i}\).

Análogamente, llamamos diagonal \(k> 0\) al vector formado por los elementos \(a_{i,i+k}\). Y diagonal \(-k\) al formado por los elementos \(a_{i,i-k}\).

Matriz bidiagonal:

• Una matriz \(A\) es bidiagonal superior si sus todos los elementos por encima de la diagonal 1 y por debajo de la diagonal 0 son 0's.

  Por ejemplo,

  

• Una matriz \(A\) es bidiagonal inferior si sus todos los elementos por encima de la diagonal 0 y por debajo de la diagonal -1 son 0's.

  Por ejemplo,

  

Matriz tridiagonal:

Una matriz \(A\) es tridiagonal si sus todos los elementos por encima de la diagonal 1 y por debajo de la diagonal -1 son 0's.

Por ejemplo,

Las matrices diagonales, bidiagonales y tridiagonales son casos particulares de las matrices banda.

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Sea \(A\) una matriz de dimensión \(mxn\),

• Es una matriz triangular superior si tiene 0's por debajo de la diagonal, es decir, si \(a_{ij} = 0\) para \(i> j\).

  Por ejemplo,

  

• Es una matriz triangular inferior si tiene 0's por encima de la diagonal, es decir, si \(a_{ij} = 0\) para \(i< j\).

  Por ejemplo,

  

La matriz traspuesta de una matriz \(A\) de dimensión \(mxn\) es una matriz de dimensión \(nxm\) que tiene por columnas a las filas de \(A\). Se denota como \(A^T\) (o \(A'\) si la matriz es real).

Por ejemplo,

Sea \(A\) una matriz de dimensión \(mxn\). Su matriz adjunta es la matriz de dimensión \(mxn\) definida por \(Adj(A) = (ad_{ij})\) siendo

donde \(A^{i,j}\) es la matriz resultante al eliminar la fila \(i\) y columna \(j\) de \(A\).

Al elemento \(ad_{ij}\) se le llama \((i,j)-\)cofactor (o adjunto) de la matriz \(A\).

Por ejemplo,

Una matriz \(A\) es simétrica si es igual a su traspuesta, es decir, \(A = A^T\). Como consecuencia de la definición, la matriz \(A\) tiene que ser cuadrada.

Por ejemplo,

Una matriz \(A\) es antisimétrica si es la matriz opuesta de su traspuesta, es decir, \(A = -A^T\). Como consecuencia de la definición, la matriz \(A\) tiene que ser cuadrada.

Por ejemplo,

Una matriz \(A\) de dimensión \(mxn\) es definida positiva si para todo vector \(x = ( x_1 ,..., x_n )\) se cumple

Si se cumple con la desigualdad \(\geq \), diremos que la matriz es semi definida positiva.

Una matriz \(A = (a_{ij})\) cuadrada de dimensión \(n\) es diagonalmente dominante por filas (RDD) si

Por ejemplo,

Una matriz \(A = (a_{ij})\) cuadrada de dimensión \(n\) es diagonalmente dominante por columnas (CDD) si

Por ejemplo,

Si se cumple con el signo estricto, diremos estrictamente diagonalmente dominante por filas o columnas. Los ejemplos son estrictamente.

Una matriz cuadrada \(A\) de dimensión \(n> 1\) es Hessenberg superior si todos los elementos bajo la diagonal -1 son nulos.

Por ejemplo,

Una matriz cuadrada \(A\) de dimensión \(n> 1\) es Hessenberg inferior si todos los elementos sobre la diagonal 1 son nulos.

Por ejemplo,

Una matriz cuadrada \(A = (a_{ij})\) es de Vandermonde si \(a_{ij} = \alpha_i ^{j-1}\).

Si es de dimensión 3, tiene la forma

Ejemplo de una matriz Vandermonde de dimensión 4:

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