Matriz inversa y matriz adjunta

En esta página explicamos cómo calcular la matriz adjunta y la matriz inversa de una matriz cuadrada.

Contenido de esta página:

• Introducción
• Inversa mediante adjunción (método)
• Propiedades básicas de la matriz inversa
• 10 problemas resueltos (calcular la matriz inversa)
• 5 problemas para pensar

Calculadoras de matrices:

• Calculadora online de la matriz inversa
• Calculadora online de determinantes
• Calculadora online de la regla de Cramer

Las matrices son una herramienta valiosa en todas las ramas de las matemáticas, pero, sobre todo, lo son cuando son matrices inversibles (es decir, con inversa). Existen muchos y diversos métodos para la obtención de la matriz inversa, cada uno de ellos con sus ventajas y desventajas.

Entre los métodos más básicos, destacan el método de Gauss y el que vamos a explicar en esta página (inversa mediante adjunción). En el primero se realizan operaciones elementales fila y en el segundo se calculan determinantes de submatrices.

Recordad:

• La inversa de \(A\) se denota por \(A^{-1}\) y es la única matriz que cumple, por definición, $$ A\cdot A^{-1} = I $$ $$ A^{-1} \cdot A = I $$ siendo \(I\) la matriz identidad.
• Sólo tienen inversa algunas matrices cuadradas (cuadradas porque tienen el mismo número de filas y columnas).
• Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de 0.
• Si una matriz tiene inversa, se dice que es inversible o regular. En caso contrario, se dice que es irregular o singular.

Ejemplo de matrices inversas

Cada una de las siguientes matrices es la inversa de la otra:

Tanto el producto matricial \(A\cdot A^{-1}\) como \(A^{-1}\cdot A\) son iguales a la matriz identidad (definición de matriz inversa):

Sea \(A\) una matriz cuadrada y regular de dimensión \(n\), entonces la matriz inversa de \(A\), \(A^{-1}\), viene dada por

donde

• \(|A|\) es el determinante de \(A\)
• \(Adj(A)\) es la matriz adjunta o de adjuntos de la matriz \(A\)
• el exponente \(T\) signidica trasposición (matriz traspuesta), que se calcula cambiando filas por columnas.

Nota: algunos autores llaman matriz adjunta a la traspuesta de la matriz adjunta que definimos a continuación.

Matriz adjunta:

Sea \(A\) una matriz de dimensión \(mxn\), denotamos al elemento de la fila \(i\) y columna \(j\) de \(A\) por \(a_{i,j}\). Entonces,

Con esta notación, si la matriz \(A\) es de dimensión 2x2, tiene la forma

Y si es de dimensión 3x3,

La matriz adjunta de \(A\), \(Adj(A)\), tiene la misma dimensión que \(A\) y si denotamos por \(ad_{i,j}\) al elemento de la fila \(i\) y columna \(j\) de \(Adj(A)\), entonces

donde \(A_{i,j}\) es la matriz que se obtiene al eliminar la fila \(i\) y columna \(j\) de \(A\) (es una submatriz).

Ejemplo de submatriz

Consideremos la siguiente matriz \(A\) de dimensión 3:

• La submatriz \(A_{2,2}\) se obtiene al eliminar la fila 2 y la columna 2 de \(A\):

• La submatriz \(A_{2,3}\) se obtiene al eliminar la fila 2 y la columna 3 de \(A\):

Ejemplo de inversa

Cálculo de la matriz adjunta y matriz inversa de una matriz \(A\) de dimensión \(2\times 2\):

La matriz adjunta tendrá también dimensión 2x2.

Calculamos sus cuatro elementos (los adjuntos):

Nota: no confundáis el determinante de una matriz 1x1 con un valor absoluto.

Por tanto, la matriz adjunta de \(A\) es

El determinante de la matriz \(A\) es

La traspuesta de la adjunta es (cambiamos filas por columnas):

Dividiendo por \(|A|\) tenemos la inversa:

Sean \(A\) y \(B\) dos matrices, regulares y de la misma dimensión cuadrada, entonces, las 6 propiedades más importantes de la matriz inversa que necesariamente debemos conocer son las siguientes:

• La inversa de la inversa de \(A\) es \(A\): $$ (A^{-1})^{-1} = A $$
• La inversa del producto de matrices es el producto de las inversas: $$ (A\cdot B)^{-1} = B^{-1}\cdot A^{-1} $$
• La inversa de la matriz traspuesta es la traspuesta de la inversa: $$ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T $$
• El determinante de la matriz inversa de \(A\) es el inverso del determinante de \(A\): $$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $$
• La matriz \(A\) tiene inversa si y solo si es regular: $$ |A| \neq 0 \iff \exists A^{-1}$$
• La matriz inversa es única (es la única matriz que al multiplicar por derecha e izquierda tiene como resultado la identidad): $$ A\cdot B = I = B\cdot A \iff B = A^{-1}$$

Demostraciones en teoría de la matriz inversa.

En todos los problemas debe hallarse la matriz adjunta y la matriz inversa de la matriz \(A\) dada por el método de adjunción. Recordad que podemos comprobar el resultado calculando el producto \(A\cdot A^{-1} = I\).

Problema 1

Matriz de dimensión 2x2

Calculamos los elementos de la matriz adjunta de \(A\):

La matriz adjunta de \(A\) es

Calculamos el determinante de \(A\):

La matriz inversa de \(A\) es

Nota: en esta matriz en particular, la matriz adjunta coincide con su traspuesta (calculada al aplicar la fórmula de la inversa).

Problema 2

Matriz de dimensión 3x3

Problema 3

Matriz de dimensión 3x3

Calculamos los elementos de la matriz adjunta de \(A\):

La matriz adjunta de \(A\) es

Calculamos el determinante de \(A\):

La matriz inversa de \(A\) es

Problema 4

Matriz de dimensión 3x3

Problema 5

Matriz triangular superior de dimensión 3x3

Nota: obsérvese que la matriz inversa es también triangular superior.

La matriz \(A\) es triangular superior, así que su inversa también lo es, como veremos.

Calculamos los elementos de la matriz adjunta de \(A\):

La matriz adjunta de \(A\) es

Calculamos el determinante de \(A\):

La matriz inversa de \(A\) es

Problema 6

Matriz diagonal de dimensión 3x3

Importante: la matriz inversa de una matriz diagonal \(A\) es una matriz diagonal cuyos elementos (de la diagonal) son los inversos de los elementos de \(A\).

Nota: observad que \(1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2\).

No obstante, vamos a calcular la inversa siguiendo el mismo procedimiento:

Problema 7

Matriz de dimensión 3x3 con entradas complejas

Problema 8

Matriz de dimensión 3x3

Problema 9

Matriz banda de dimensión 4x4

Problema 10

Matriz diagonal secundaria de dimensión 3x3

Nota: obsérvese que la matriz inversa es también diagonal secundaria.

Problema 1

Demostrar la unicidad de la matriz inversa.

Sea \(A\) una matriz regular con inversa \(A^{-1}\).

Supongamos que existe una matriz \(B\) de la misma dimensión que \(A\) tal que

$$B\cdot A = I = A\cdot B $$

Queremos ver que \(B = A^{-1}\), pero esto es inmediato al multiplicar por la inversa en la igualdad anterior:

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Problema 2

Por definición de matriz inversa, sabemos que los productos \(A\cdot A^{-1}\) y \(A^{-1}\cdot A\) son iguales a la matriz identidad.

Supongamos que la matriz \(A\) es regular, tiene inversa \(A^{-1}\) y que existe una matriz \(B\) de la misma dimensión tal que el producto por la derecha \(A\cdot B\) es la identidad. Entonces, ¿es \(B\) necesariamente igual a \(A^{-1}\)? Es decir, queremos saber si es suficiente que \(A\cdot B = I\) para que \(B\) sea la inversa o debemos comprobar también que \(B\cdot A = I\), dado que el producto de matrices no es conmutativo.

Como la matriz \(A\) es regular, tiene inversa y es \(A^{-1}\). Por tanto, sabemos que

$$ A^{-1}\cdot A = I $$

Por otro lado, sabemos que

$$ A\cdot B = I $$

Podemos multiplicar por \(A^{-1}\) por la izquierda en la igualdad anterior:

$$ A^{-1}\cdot A\cdot B = A^{-1}\cdot I $$

De donde tenemos

$$ I\cdot B = A^{-1}\cdot I $$

$$ B = A^{-1} $$

Luego la respuesta es afirmativa: si una matriz es inversa por un lado, lo es también por el otro y, por tanto, es la inversa propiamente dicha.

Problema 3

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Resolver el sistema usando la matriz \(A\) y su inversa \(A^{-1}\):

La matriz \(A\) es la llamada matriz coeficientes del sistema de ecuaciones. Observad que podemos escribir el sistema como \(A\cdot X = b\), donde \(A\) es la matriz de coeficientes y las matrices \(X\) (matriz de incógnitas) y \(b\) (matriz de términos independientes) son

La forma \(AX =b\) es la forma matricial del sistema.

Como la matriz \(A\) tiene inversa, podemos multiplicar por la izquierda en la igualdad:

Es decir, el producto \(A^{-1}\cdot b\) es la solución del sistema. Lo calculamos:

Por tanto, gracias a la inversa, tenemos la solución del sistema: \(x = 8\) e \(y = 3\).

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Problema 4

Demostrar que el determinante de la inversa es el inverso del determinante: $$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$$

Sólo tenemos que usar la propiedad de que el determinante de un producto es el producto de los determinantes y que el determinante de la identidad es 1:

Por tanto,

Problema 5

Demostrar que si una matriz \(A = diagonal(a_1,…,a_n)\) cuadrada de dimensión \(n\) y diagonal cumple \(a_i \neq 0\) para todo \(i\), entonces tiene inversa y, además, su inversa es la matriz diagonal \(B = diagonal(b_ 1,...,b_n)\) de igual dimensión con \(b_i = 1/a_i\) para todo \(i\).

Nota: como consecuencia directa, la inversa de una matriz diagonal es una matriz diagonal.

Para que no nos ofusque la notación, una matriz es diagonal cuando todas sus entradas no diagonales son iguales a 0:

La matriz \(A\) del problema tiene, además, todos los elementos de su diagonal distintos de 0, esto es, \(a_i \neq 0\).

El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de su diagonal:

Es decir,

El producto anterior es distinto de 0, por ser los elementos de la diagonal distintos de 0. Esto significa que la matriz \(A\) es invertible o regular.

Para demostrar que la matriz \(B\) diagonal, cuya diagonal son los inversos de la diagonal de \(A\), es la inversa de \(A\), sólo tenemos que comprobar que el producto \(A\cdot B\) es la identidad.

El producto de dos matrices diagonales es la matriz diagonal cuyos elementos son los productos de la diagonal:

Pero como \(b_i = 1/a_i\), entonces \(a_i \cdot b_i = 1\), por lo que el producto \(A\cdot B\) es la identidad y, por tanto, \(B = A^{-1}\).

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