Matriz inversa y matriz adjunta
En esta página explicamos cómo calcular la matriz adjunta y la matriz inversa de una matriz cuadrada.
Contenido de esta página:
- Introducción
- Inversa mediante adjunción (método)
- 10 problemas resueltos (calcular la matriz inversa)
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Introducción
Las matrices son una herramienta valiosa en todas las ramas de las matemáticas, pero, sobre todo, lo son cuando son matrices inversibles (es decir, con inversa). Existen muchos y diversos métodos para la obtención de la matriz inversa, cada uno de ellos con sus ventajas y desventajas.
Entre los métodos más básicos, destacan el de Gauss y el que vamos a explicar en esta página (inversa mediante adjunción). En el primero se realizan operaciones elementales fila y en el segundo se calculan determinantes.
Recordad:
-
Sólo tienen inversa algunas matrices cuadradas.
-
Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0.
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Si una matriz tiene inversa, se dice que es inversible o regular. En caso contrario, se dice que es irregular o singular.
-
La inversa de \(A\) se denota por \(A^{-1}\) y cumple
$$ A\cdot A^{-1} = I $$
$$ A^{-1} \cdot A = I $$
Inversa mediante adjunción
Sea \(A\) una matriz cuadrada y regular de dimensión \(n\), entonces la matriz inversa de \(A\), \(A^{-1}\), viene dada por
donde
-
\(|A|\) es el determinante de \(A\)
-
\(Adj(A)\) es la matriz adjunta o de adjuntos de la matriz \(A\)
-
el exponente \(T\) signidica trasposición (matriz traspuesta)
Nota: alguna gente llama adjunta a la traspuesta de la matriz adjunta que definimos a continuación.
Matriz adjunta:
Sea \(A\) una matriz de dimensión \(mxn\), denotamos al elemento de la fila \(i\) y columna \(j\) de \(A\) por \(a_{i,j}\).
Con esta notación, si la matriz \(A\) es de dimensión 2x2, tiene la forma
Y, si es de dimensión 3x3,
La matriz adjunta de \(A\), \(Adj(A)\), tiene la misma dimensión que \(A\) y si denotamos por \(ad_{i,j}\) al elemento de la fila \(i\) y columna \(j\) de \(Adj(A)\), entonces
donde \(A_{i,j}\) es la matriz que se obtiene al eliminar la fila \(i\) y columna \(j\) de \(A\).
Ejemplo del cálculo de la matriz adjunta y matriz inversa:
