Suma, producto por un escalar y transpuesta (matrices)

En esta página vamos a ver la suma (y la resta) de matrices, el producto de un escalar por una matriz y la trasposición de matrices.

Contenido de esta página:

1. Introducción
2. Definición de la suma de matrices
3. Producto por un escalar
4. Matriz Traspuesta
5. Ejercicios Resueltos

Calculadoras de matrices:

• Calculadora online de la matriz inversa
• Calculadora online de determinantes
• Calculadora online de la regla de Cramer

Como en los números reales, los enteros, los racionales y otros elementos matemáticos, en las matrices también está definida la operación suma (y resta). Más formalmente, podemos decir que se trata de una operación binaria interna en el grupo de las matrices de la misma dimensión con coeficientes complejos. Esto es, la suma de matrices es una operación entre dos matrices de la misma dimensión y su resultado es otra matriz también de la misma dimensión, ya sean matrices cuadradas o rectangulares.

La operación se define de una manera muy sencilla: la matriz suma de dos matrices con la misma dimensión es la matriz que tiene en la posición fila i y columna j la suma de los elementos de la misma posición en las matrices que sumamos. Es decir, la suma de matrices se calcula sumando los elementos que ocupan la misma posición.

De forma análoga, la resta de matrices se calcula restando los elementos que ocupan la misma posición.

Más formalmente, dadas las matrices de la misma dimensión \(A = (a_{i,j})\) y \(B = (b_{i,j})\), la operación \(A+B\) se define como

$$ A + B = (a_{i,j}+b_{i,j})$$

Y la resta como

$$ A - B = (a_{i,j}-b_{i,j})$$

El producto de una matriz \(A = (a_{i,j})\) por un escalar \(\alpha\) se define como

$$ \alpha\cdot A = (\alpha\cdot a_{i,j}) $$

Es decir, se calcula multiplicando todos los elementos de la matriz por el escalar.

Nota: el producto entre dos matrices no es conmutativo.

La matriz transpuesta (o traspuesta) de la matiz \(A\) se denota por \(A^T\) y es la matriz que tiene por filas a las columnas de \(A\).

Observaciones y propiedades:

• La columna \(i\) de \(A\) es la fila \(i\) de \(A^T\).

• Si la dimensión de \(A\) es \(n \times m\), la de su transpuesta \(A^T\) es \( m \times n\).

• Si la matriz es cuadrada y diagonal, la matriz traspuesta es igual a la propia matriz.

• La traspuesta de la matriz traspuesta de \(A\) es la propia matriz \(A\):

  $$ (A^T)^T = A $$

• La traspuesta de la suma de matrices es la suma de las matrices transpuestas:

  $$ (A + B)^T = A^T + B^T $$

• La traspuesta del producto de matrices es

  $$ (A\cdot B)^T = B^T\cdot A^T $$

• La traspuesta del producto de un escalar \(\alpha \) por una matriz \(A\) es

  $$ (\alpha \cdot A)^T = \alpha \cdot A^T $$

En esta sección calculamos matrices transpuestas, sumas, restas y productos por escalares de matrices de distintas dimensiones.

Ejercicio 1

a) Suma de dos matrices cuadradas de dimensión 2:

b) Suma de dos matrices rectangulares:

$$ \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right) $$

c) Suma de dos matrices columna:

$$ \left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} -1 \\ 0 \\ -2 \\ -1 \end{matrix}\right) $$

Ejercicio 2

a) Producto de una matriz rectangular por un escalar:

$$ 5\cdot \left(\begin{matrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & -3 \end{matrix}\right) $$

b) Producto por un escalar y suma de dos matrices cuadradas de dimensión 2:

Ejercicio 3

Producto por un escalar y suma de dos matrices cuadradas de dimensión 3:

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Ejercicio 4

a) Transpuesta de una matriz cuadrada de dimensión 2:

$$ \left(\begin{matrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{matrix}\right)^T $$

b) Transpuesta de una matriz cuadrada de dimensión 3:

$$ \left(\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & 5 \end{matrix}\right)^T $$

c) Transpuesta de una matriz rectangular (2x3):

$$ \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & -3 \end{matrix}\right)^T $$

d) Transpuesta y suma de dos matrices rectangulares (2x3):

Ejercicio 5

Producto por un escalar, resta de dos matrices cuadradas y transposción:

Ejercicio 6

Resta y transpuesta de matrices cuadradas de dimensión 3. \(I_3\) representa la matriz identidad de dimensión 3:

Ejercicio 7

Múltiples operaciones entre matrices columna (dimensión 3x1):

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