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¿Cuántas soluciones tiene una ecuación?

En la página ¿todas las ecuaciones tienen solución? explicamos que una ecuación puede tener o no solución, pero en esta página nos preguntamos ¿cuántas soluciones tiene una ecuación?

Para contestar a esta pregunta, recordamos algunos conceptos y proporcionamos varios ejemplos que nos ayuden a comprender. No obstante, adelantamos una respuesta genérica:

El número de soluciones de una ecuación depende del tipo de ecuación.

Nota: para facilitar la comprensión, nos centraremos en las ecuaciones polinómicas.

Contenido de esta página:

  1. Ecuación, incógnita y solución
  2. Tipo de ecuación
  3. Ecuación sin solución
  4. Ecuación con infinitas soluciones
  5. Ecuaciones polinómicas
  6. Ecuaciones polinómicas (2)
  7. Problemas resueltos

1. Ecuación, incógnita y solución

De forma abreviada, recordamos que una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las cuales aparece una o varias incógnitas (normalmente, \(x\)). La incógnita representa el número desconocido que hace que la igualdad sea cierta, el cual se desea hallar. A dicho número se le llama solución.

Consideremos la siguiente ecuación:

Respondemos a la pregunta ¿cuántas soluciones tiene una ecuación? recordando los conceptos de ecuación y solución, proporcionando ejemplos y centrándonos en las ecuaciones polinómicas de grado n, que tienen a lo sumo, n soluciones distintas. Con ejemplos y problemas resueltos. Secundaria. Álgebra. Matemáticas.

El número que debe valer \(x\) para que la igualdad anterior sea cierta es \(1\), puesto que 1 más 1 es igual a 2. Por tanto, la solución de dicha ecuación es \(x=1\).

Comprobamos que \(x=1\) verifica la ecuación:

Respondemos a la pregunta ¿cuántas soluciones tiene una ecuación? recordando los conceptos de ecuación y solución, proporcionando ejemplos y centrándonos en las ecuaciones polinómicas de grado n, que tienen a lo sumo, n soluciones distintas. Con ejemplos y problemas resueltos. Secundaria. Álgebra. Matemáticas.

Si, al sustituir la posible solución, obtenemos una igualdad verdadera (como 2=2), entonces se trata realmente de una solución de la ecuación.

2. Tipo de ecuación

El número de soluciones de una ecuación depende, básicamente, del tipo de ecuación.

Las ecuaciones en las que sólo hay sumandos con una incógnita (\(x\)) (nunca en denominadores o exponentes) son ecuaciones polinómicas, llamadas así por estar formadas por un polinomio.

Ejemplos de ecuaciones polinómicas:

Respondemos a la pregunta ¿cuántas soluciones tiene una ecuación? recordando los conceptos de ecuación y solución, proporcionando ejemplos y centrándonos en las ecuaciones polinómicas de grado n, que tienen a lo sumo, n soluciones distintas. Con ejemplos y problemas resueltos. Secundaria. Álgebra. Matemáticas.

Estas ecuaciones son polinómicas, aunque se diferencian en que tienen distintos grados (el grado es el exponente mayor):

  • La ecuación \(x-2 = 0\) es de primer grado (lineal).
  • La ecuación \(x^2 + x + 1 = 0\) es de segundo grado (cuadrática).
  • La ecuación \(x^3 - x = 0\) es de tercer grado (cúbica).

Existen otros tipos de ecuaciones: exponenciales, logarítmicas, diferenciales, en diferencias finitas, integrales, en derivadas parciales, etc. Y cada de uno de estos tipos presenta sus peculiaridades. Por esta razón, nos centramos en las más sencillas: las ecuaciones polinómicas.

3. Ecuación sin solución

Como vimos en ¿todas las ecuaciones tienen solución?, las ecuaciones pueden no tener solución. Un ejemplo de ello es la siguiente ecuación:

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Ningún número es igual a su consecutivo, por lo que no tiene sentido la igualdad \(x = x+1\). De hecho, si intentamos resolverla, obtenemos una igualdad FALSA:

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Cuando, operando en una ecuación, obtenemos una igualdad FALSA (como 0=1), la ecuación no tiene solución.

4. Ecuación con infinitas soluciones

Una ecuación tiene infinitas soluciones si la igualdad se cumple siempre, sea cual sea el valor que tome \(x\). Un ejemplo de esta situación es la siguiente ecuación:

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Podéis comprobar que cualquier número es solución de la ecuación. Veamos algunos ejemplos:

  • Si \(x = 1\), tenemos

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  • Si \(x=0\), tenemos

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  • Si \(x=-3\), tenemos

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El porqué de que haya infinitas soluciones es sencillo: ambos lados de la ecuación son equivalentes. Podemos comprobarlo al operar en ambos lados:

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De hecho, podemos seguir simplificando en la ecuación:

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Cuando, operando en una ecuación, obtenemos una igualdad siempre cierta (como 0=0), la ecuación tiene infinitas soluciones, porque cualquier número la verifica.

5. Ecuaciones polinómicas

Una ecuación polinómica de grado \(n\) tiene, a lo sumo, \(n\) soluciones distintas.

Ya hemos visto las ecuaciones que no tienen solución (se obtiene una igualdad FALSA, como 1=0) y las que tienen infinitas soluciones (se obtiene una igualdad VERDADERA, como 0=0). Veamos ahora las que tienen varias soluciones, pero no infinitas.

Anteriormente ya hemos definido las ecuaciones polinómicas, cuyo grado es el exponente mayor de la incógnita. Por ejemplo, las ecuaciones de primer, segundo y tercer grado tienen la siguiente forma:

  • Ecuación de primer grado:

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  • Ecuación de segundo grado:

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  • Ecuación de tercer grado:

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En los tres casos, el número (coeficiente) \(a\) no puede ser 0.


Como ya se ha dicho, una ecuación polinómica de grado \(n\) tiene, a lo sumo, \(n\) soluciones distintas.

Veamos algunos ejemplos:

  • La ecuación de primer grado \(x -1 = 0\) tiene una única solución: \(x = 1\).
  • La ecuación de segundo grado \(x^2 -1 =0\) tiene dos soluciones distintas: \(x = 1\) y \(x=-1\).
  • La ecuación de tercer grado \(x^3 - x = 0\) tiene tres soluciones distintas: \(x = 0\), \(x=1\) y \(x = -1\).

6. Ecuaciones polinómicas (2)

Una ecuación polinómica de grado \(n\) puede tener hasta \(n\) soluciones distintas. Ahora bien, es posible que la ecuación tenga menos de \(n\) soluciones distintas.

Por ejemplo, la ecuación de segundo grado \(x^2 -2x +1 = 0\) tiene una única solución \(x = 1\); mientras que la ecuación \(x^2-1 = 0\) tiene dos soluciones distintas (\(x=1\) y \(x=1\)).


Además de esto, las ecuaciones de segundo grado tienen una peculiaridad: pueden tener soluciones complejas, es decir, soluciones que son números complejos.

Por ejemplo, la ecuación \(x^2 +1 = 0\) tiene dos soluciones complejas, más en concreto, dos soluciones imaginarias: \(x=i\) y \(x = -i\), que son las raíces cuadradas de \(-1\).

El número de soluciones de una ecuación de segundo grado \(ax^2 + bx +c =0\) podemos deducirlo a partir del signo de su discriminante, \(\Delta\):

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Más información en discriminante.

7. Problemas resueltos

Problema 1

¿La siguiente ecuación tiene infinitas soluciones?

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Problema 2

¿La siguiente ecuación tiene solución?

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Problema 3

¿La siguiente ecuación puede tener sólo dos soluciones distintas?

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Problema 4

¿La siguiente ecuación puede tener 3 soluciones distintas?

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Problema 5

¿La siguiente ecuación puede tener 3 soluciones distintas?

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