Sistemas de ecuaciones NO lineales

En esta página resolvemos dos sistemas de ecuaciones lineales y tres sistemas de ecuaciones no lineales para mostrar la complejidad de estos segundos en comparación con los primeros.

Contenido de esta página:

1. Sistemas de ecuaciones lineales vs no lineales
2. Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales
3. Ejemplos de sistemas de ecuaciones no lineales

Existen diferentes métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, así como resultados que permiten clasificarlos según el tipo de soluciones. Por ejemplo, los métodos básicos para la resolución de ecuaciones de sistemas lineales son los de sustitución, igualación y reducción. Otros métodos más avanzados son del álgebra matricial: la eliminación de Gauss y la regla de Cramer.

Los sistemas de ecuaciones NO lineales son muy distintos entre sí, lo cual dificulta hallar métodos generales que faciliten su resolución, lo que no significa que no los haya.

Recordad, también, que dado un sistema de ecuaciones lineales, pueden darse tres casos (teorema de Rouché-Frobenius):

• No tiene solución (sistema incompatible).
• Tiene una única solución (sistema compatible determinado).
• Tiene infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado).

Sin embargo, un sistema de ecuaciones NO lineales puede tener un número finito de soluciones distintas (por ejemplo, 2 ó 3 soluciones), como veremos en alguno de los ejemplos.

Finalmente, también comentamos que la solución (o soluciones) de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes reales son números reales, mientras que un sistema de ecuaciones no lineales puede tener soluciones complejas. También veremos un ejemplo de esto.

Veamos la resolución de un par de sistemas de ecuaciones lineales sencillos, resueltos por métodos básicos.

Sistema 1

Sistema de ecuaciones lineales con 2 incógnitas, \(x\) e \(y\):

Resolución:

Sumando la segunda ecuación a la primera,

De la primera ecuación tenemos que \(x = 3\) y, sustituyendo en la segunda, tenemos que \(y = 1\). Por tanto, la única solución del sistema es

Gráfica: si representamos las dos ecuaciones, la solución es el punto de su intersección.

Sistema 2

Sistema de ecuaciones lineales con 2 incógnitas, \(x\) e \(y\):

Resolución:

Este sistema lo resolvemos por sustitución. Despejamos la \(x\) en la segunda ecuación:

Sustituimos en la primera ecuación:

Resolvemos la ecuación obtenida:

Calculamos la otra incógnita:

Por tanto, la única solución del sistema es

En un sistema de ecuaciones no lineales podemos encontrar las incógnitas formando parte de operaciones muy variadas, ya sea multiplicándose entre sí, con exponentes, bajo signos radicales, en denominadores, etc.

A continuación, resolvemos 3 sistemas de este tipo.

Sistema 3

Sistema de ecuaciones NO lineales con 2 incógnitas, \(x\) e \(y\):

Resolución:

Observad que la primera ecuación no es lineal puesto que las incógnitas \(x\) e \(y\) se multiplican entre sí.

Despejamos la \(x\) en la segunda ecuación:

Sustituimos en la primera ecuación:

Tenemos una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son \(y = 0\) e \(y =3\). Sustituimos en la ecuación \(x = 2y/3\) para obtener \(x = 0\) y \(x = 2\). Por tanto, este sistema de ecuaciones tiene dos soluciones distintas:

Gráfica: si representamos las dos ecuaciones, las dos soluciones son los puntos de intersección:

Nota: el conjunto de puntos \(xy-2y=0\) (en rojo) está formado por dos rectas perpendiculares.

Sistema 4

Sistema de ecuaciones NO lineales con 2 incógnitas, \(x\) e \(y\):

Resolución:

Observad que ninguna de las dos ecuaciones es lineal puesto que la incógnita \(x\) tiene los exponentes 4 y 2.

Despejamos \(y\) en la segunda ecuación:

Sustituimos en la primera ecuación:

Las soluciones de la ecuación son

Calculamos \(y\):

Por tanto, el sistema tiene 3 soluciones:

Gráfica:

Sistema 5

Sistema de ecuaciones NO lineales con 2 incógnitas, \(x\) e \(y\):

Resolución:

Observad que ninguna de las dos ecuaciones es lineal: la primera tiene potencias de \(x\) y de \(y\); la segunda tiene el producto \(xy\).

Despejamos la \(y\) en la segunda ecuación:

Sustituimos en la primera ecuación:

Realizamos un cambio de variable \(t = x^2\) para simplificar la ecuación:

Operamos un poco:

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

Deshacemos el cambio de variable:

Calculamos \(y\):

Por tanto, el sistema de ecuaciones no lineales tiene 4 soluciones distintas:

Gráfica:

Nota: las soluciones reales son los puntos de intersección.