¿Hay ecuaciones sin solución?

La respuesta a la pregunta ¿hay ecuaciones sin solución? es que sí:

En esta página mostramos ejemplos de ecuaciones que no tienen solución.

Contenido de esta página:

1. Solución de una ecuación
2. Ecuaciones sencillas sin solución
3. Ecuaciones cuadráticas sin solución
4. Encontrar ecuaciones sin solución
5. Problemas resueltos

La solución de una ecuación con una incógnita \(x\) es el número que debe tomar \(x\) para que se cumpla la igualdad.

Ejemplo 1: consideremos la ecuación

Es fácil deducir que \(x=1\) es solución de dicha ecuación. Sólo hay que cambiar \(x\) por 1 en la ecuación y comprobar que se cumple la igualdad:

En cambio, \(x=2\), por ejemplo, no es solución:

Ejemplo 2: un ejemplo de ecuación sin solución es la siguiente:

La ecuación no tiene solución porque si a \(x\) le sumamos 1, no puede ser igual a \(x\). De hecho, si intentamos resolver la ecuación, obtenemos una igualdad FALSA:

Ejemplo 3:

Esta ecuación tampoco tiene solución porque una división nunca puede dar 0 como resultado (cociente).

Ejemplo 4:

La ecuación exponencial \(2^x = 0\) tampoco tiene solución porque ninguna potencia puede dar 0 como resultado:

Ejemplo 5:

El valor absoluto nunca puede ser negativo por su propia definición, por tanto, esta ecuación tampoco tiene solución.

Según nuestro nivel de matemáticas, diremos que algunas ecuaciones de segundo grado tienen o no solución. Nos referimos a las ecuaciones con soluciones complejas.

Ejemplo 6:

Esta ecuación no tiene, en principio, solución, puesto que \(x^2\) es siempre mayor o igual que 0 y, por tanto, la suma \(x^2 + 1\) no puede dar 0 como resultado.

Si intentamos resolver la ecuación, llegamos a la raíz cuadrada de un número negativo:

Y esto, según nos enseñaron, no tiene sentido, porque ningún número multiplicado por sí mismo puede ser negativo (regla de los signos):

Precisamente para solventar este problema se inventaron los llamados números imaginarios, cuya unidad es el número \(i\), definido como

Entonces, ya podemos hablar de raíces cuadradas de números negativos y, por tanto, la ecuación anterior ya tiene soluciones:

Por tanto, esta ecuación tiene dos soluciones: \(x = i\) y \(x=-i\).

Una forma de hallar una ecuación sin solución es escribir una igualdad falsa y, después, añadir los mismos sumandos a ambos lados. Por ejemplo, vamos a escribir algunas ecuaciones sin solución a partir de la FALSA igualdad \(1 =2\):

Problema 1

Comprobar si \(x=3\) es solución de alguna de las siguientes ecuaciones:

Problema 2

Comprobar que \(x=0\), \(x=1\) y \(x=2\) son soluciones de la ecuación de tercer grado

Problema 3

¿Tiene solución la siguiente ecuación?

Problema 4

¿Tiene solución la siguiente ecuación?

Problema 5

¿Tiene solución la siguiente ecuación?